Wpisanie kwadratu w trójkąt

[Lafoniz]

Czy w każdy trójkąt można wpisać kwadrat i dlaczego można, albo nie?

[a4karo]

Można. Niech A będzie wierzchołkiem naprzeciwko najdłuższego boku, a P spodkiem tej wysokości. Niech punkt Z porusza się wzdłuż wysokości od A do P. Rysuj prostokąt, którego jeden bok leży na najdłuższym boku, a drugi przechodzi przez Z, jest do tego boku równoległy i dotyka pozostałych boków.

Gdy Z jest bliskie A, stosunek podstawy tego prostokąta do wysokości jest bliski 0. Gdy Z zbliżę się do P, ten stosunek staje się nieskończony. W pewnym zatem momencie musi się on równać 1, i to własnie będzie kwadrat.

[Lafoniz]

Takie rozumowanie jest bardzo ciekawe, ma ono jakąś szczególną nazwę, dowodzi się przy pomocy jego jakichś interesujących twierdzeń?

[a4karo]

To jest wykorzystanie własności Darboux funkcji ciągłych (w tym wypadku ciagły jest stosunek długości boków)