Witajcie!
Nie wiem jak to ugryźć... Proszę o pomoc, z góry dzięki
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt nachylenia krawędzi do podstawy jest równy \(\displaystyle{ \alpha}\). Wykaż że:
\(\displaystyle{ \cos \beta = \frac{-1}{1+2\tan ^{2} \alpha }}\),
gdzie \(\displaystyle{ \beta}\) jest kątem między sąsiednimi ścianami bocznymi.
Udowodnienie cosinusa kąta.
-
piasek101
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Udowodnienie cosinusa kąta.
\(\displaystyle{ 2a;b;x;y}\) - odpowiednio : krawędź podstawy; krawędź boczna; wysokość ściany bocznej; wysokość ściany bocznej poprowadzona do krawędzi bocznej.
Z trójkąta : połowa przekątnej podstawy, krawędź boczna, wysokość ostrosłupa wyznaczasz (b) w zależności od (a).
Z trójkąta : połowa krawędzi podstawy; krawędź boczna; wysokość ściany bocznej uzależniasz ostatnią od (a).
Z podobieństwa trójkątów (na ścianie bocznej) : 1) \(\displaystyle{ x;a;b}\) 2)\(\displaystyle{ y;2a}\) uzależniasz y od (a).
Na koniec twierdzenie cosinusów w \(\displaystyle{ y;y; 2\sqrt 2 a}\) z kątem \(\displaystyle{ \beta}\) i masz zależność na cosinusa beta w zależności od \(\displaystyle{ \alpha}\)
Z trójkąta : połowa przekątnej podstawy, krawędź boczna, wysokość ostrosłupa wyznaczasz (b) w zależności od (a).
Z trójkąta : połowa krawędzi podstawy; krawędź boczna; wysokość ściany bocznej uzależniasz ostatnią od (a).
Z podobieństwa trójkątów (na ścianie bocznej) : 1) \(\displaystyle{ x;a;b}\) 2)\(\displaystyle{ y;2a}\) uzależniasz y od (a).
Na koniec twierdzenie cosinusów w \(\displaystyle{ y;y; 2\sqrt 2 a}\) z kątem \(\displaystyle{ \beta}\) i masz zależność na cosinusa beta w zależności od \(\displaystyle{ \alpha}\)