pole czworokąta wypukłego

[krotka]

Mamy czworokąt wypukły \(\displaystyle{ ABCD}\) oraz punkty \(\displaystyle{ E, F, G, H}\) będące odpowiednio środkami boków \(\displaystyle{ AB, BC, CD, DA}\). Wiemy dodatkowo, że \(\displaystyle{ |EG|=|FH|}\). Oznaczając przez \(\displaystyle{ a,b}\) długości przekątnych czworokąta należy wykazać, że pole danego czworokąta jest niewiększe niż \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \left( \frac{a+b}{2}\right)^{2}}\).

[bakala12]

Z twierdzenia Talesa łatwo pokazać, że czworokąt, \(\displaystyle{ EFGH}\) jest równoległobokiem, a ponieważ ma równe przekątne więc jest on prostokątem. Ponadto jego boki mają długości \(\displaystyle{ \frac{a}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{b}{2}}\), tak więc jego pole wynosi \(\displaystyle{ \frac{ab}{4}}\). Jak rozumiem "dany czworokąt" to \(\displaystyle{ ABCD}\). Wobec tego korzystamy z kolejnego faktu, mianowicie, że pole czworokąta \(\displaystyle{ EFGH}\) jest równe połowie pola czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\) (istotnie, tak jest, uzasadnienie zostawiam jako ćwiczenie, w razie problemów będę dalej wyjaśniał). Zatem \(\displaystyle{ P_{ABCD}=\frac{ab}{2}}\). Na mocy nierówności o średniej arytmetycznej i geometrycznej, wzorów skróconego mnożenia czy czego tam sobie życzysz zachodzi więc:
\(\displaystyle{ P_{ABCD}=\frac{ab}{2} \le \frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}}\), co należało pokazać. Teza zadania wydaje się nieco głupia, ale nie zmienia to faktu, że została udowodniona

[krotka]

jak skorzystać z tw Talesa?

[bakala12]

Narysuj czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) i jego przekątne. Dorysuj czworokąt \(\displaystyle{ EFGH}\). Wiemy, że
\(\displaystyle{ \frac{BE}{EA}=\frac{BF}{FC}=1}\) (bo \(\displaystyle{ E,F}\) to środki boków) zatem na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wnosimy, że \(\displaystyle{ EF\parallel AC}\). Analogicznie uzasadniamy, że \(\displaystyle{ FG \parallel BD}\), \(\displaystyle{ GH \parallel AC}\) oraz \(\displaystyle{ HE \parallel BD}\). Zatem czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) istotnie jest równoległobokiem.
Można to też uzasadnić inaczej powołując się na pojęcie linii środkowej trójkąta.

[krotka]

Super, dziękuję. A odnośnie tego że pole wyjściowego czworokąta jest dwa razy większe niż tego jak już wiemy prostokąta to czy dobrze myślę:
Niech S to będzie punkt przecięcia \(\displaystyle{ EG}\) i \(\displaystyle{ FH}\). Pole trójkąta \(\displaystyle{ FGS}\) jest równe polu trójkąta \(\displaystyle{ ESH}\) ich wysokości dają w sumie \(\displaystyle{ \frac{a}{2}}\). Zatem suma wysokości trójkątów \(\displaystyle{ FCG}\) i \(\displaystyle{ AEH}\) też wynosi \(\displaystyle{ \frac{a}{2}}\), ponadto mają wspólne podstawy więc pola są takie same:) podobnie dla pozostałych par trójkątów. Stąd pole wyjściowego czworokąta jest dwa razy większe niż "środkowego"?

[bakala12]

krotka, Twoje uzasadnienie jest poprawne, aczkolwiek w istotny sposób korzystasz z tego, że \(\displaystyle{ EFGH}\) to prostokąt. Warto wspomnieć że pole \(\displaystyle{ EFGH}\) jest połową pola \(\displaystyle{ ABCD}\) zawsze, a nie tylko w tym szczególnym przypadku. Uzasadnienie ogólniejszego faktu mogłoby wyglądać następująco:
\(\displaystyle{ P_{AEH}=\frac{1}{4}P_{ABD}}\) (bo te trójkąty są podobne w skali \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\))
Analogicznie:
\(\displaystyle{ P_{BEF}=\frac{1}{4}P_{ABC} \\
P_{CGF}=\frac{1}{4}P_{BCD} \\
P_{DGH}=\frac{1}{4}P_{ACD}}\)
Dodając powyższe równości stronami i przekształcając dostaniemy:
\(\displaystyle{ P_{ABCD}-P_{EFGH}=\frac{1}{2}P_{ABCD}}\) a to już daje tezę.

[krotka]

Dziękuję pięknie!!