Wykaż, że jeżeli w trójkącie ABC

[Bambuko]

Wykaż, że jeżeli w trójkącie ABC, α jest dwukrotnie większa od β, to \(\displaystyle{ a ^{2} - b^2 = bc}\)


Wyznaczyłem sobie z twierdzenia sinusów a i c, ale nie mogę dalej tego przekształcić do postaci bc, proszę o wskazówki i pomoc.

[szachimat]

Wykaż, że jeżeli w trójkącie ABC, α jest dwukrotnie większa od β, to \(\displaystyle{ a ^{2} - b^2 = bc}\)


Wyznaczyłem sobie z twierdzenia sinusów a i c, ale nie mogę dalej tego przekształcić do postaci bc, proszę o wskazówki i pomoc.

Uważam, że treść nie jest w pełni sprecyzowana. Nie wiemy, jak są położone kąty względem boków. Czy należy przyjąć tradycyjne oznaczenia, że \(\displaystyle{ \alpha}\) leży naprzeciwko "a", \(\displaystyle{ \beta}\) naprzeciwko "b", czy może jest inaczej?

[Bambuko]

Tak, jak najbardziej tradycyjne oznaczenia

Oznaczenia są takie jak wspomniałeś, nadal nie wiem jak dość do tej postaci, proszę o pomoc

[a456]

A może zamiast z twierdzenia sinusów, korzystaj z cosinusów? Możesz skorzystać z tego, że
\(\displaystyle{ a^2=b^2+c^2-2bc\cos2\beta}\)
\(\displaystyle{ b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta}\)

potem odjąć te równania od siebie i próbować jakoś przekształcać, może się uda

[timon92]

narysuj dwusieczną kąta \(\displaystyle{ \alpha}\)

czy widzisz gdzieś trójkąt równoramienny? czy widzisz gdzieś trójkąty podobne?

[Michalinho]

Na pewno się uda, po twierdzeniu cosinusów dostajemy:
\(\displaystyle{ a^2-b^2=c(a\cos \beta - b\cos 2\beta)}\), więc wystarczy udowodnić:
\(\displaystyle{ a\cos \beta - b\cos 2\beta =b \Leftrightarrow a\cos \beta = b(\cos 2\beta+1) \Leftrightarrow a\cos \beta =b\cdot 2\cos^2\beta \Leftrightarrow a=2b\cos \beta}\)
Z twierdzenia sinusów:
\(\displaystyle{ \frac{a} {\sin 2\beta}=\frac{b}{\sin \alpha} \Leftrightarrow \frac{a} {2\sin \beta \cos \beta} =\frac{b} {\sin \beta} \Leftrightarrow a=2b\cos \beta}\) co kończy dowód.