Wyprowadzenie dwusiecznej trójkąta

[Rotgar10]

W trójkącie ABC, w którym \(\displaystyle{ \left| AC \right| = b}\), \(\displaystyle{ \left| BC \right| = a}\), \(\displaystyle{ \left| ACB\right| = \alpha}\) , z wierzchołka \(\displaystyle{ C}\) poprowadzono dwusieczną, która przecieła bok \(\displaystyle{ AB}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ \left| CD \right| = \frac{2ab \cdot \cos \alpha }{a+b}}\).

[Zahion]

Powinno się udać z przyrównania sumy pól trójkątów \(\displaystyle{ ACD, BCD}\) do trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\). Przy czym pola wyraz za pomocą wzoru \(\displaystyle{ ab \cdot \sin \alpha \cdot \frac{1}{2}}\)

[Rotgar10]

Właśnie próbowałem. Wyszło równanie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}ab \sin \alpha = \frac{1}{2}b\left| CD\right| \sin \frac{ \alpha }{2} + \frac{1}{2}a\left| CD\right| \sin \frac{ \alpha }{2}}\). Podstawiam za \(\displaystyle{ \left| CD\right|}\) wartość z tezy i za \(\displaystyle{ \sin \frac{ \alpha }{2} = \sqrt{ \frac{1-\cos \alpha }{2} }}\), ale nie wychodzi równość.

[Ania221]

To wychodzi z tw cosinusów dla tr \(\displaystyle{ ACD}\) i tr \(\displaystyle{ BCD}\) , ale jeśli oznaczysz \(\displaystyle{ kat ACB= katBCD=\alpha}\)

[Zahion]

Z tej równości otrzymujemy, że \(\displaystyle{ |CD| = \frac{ab \cdot \sin \alpha }{\left( a+b\right) \sin \frac{ \alpha }{2} } = \frac{2ab \sin \frac{ \alpha }{2} \cos \frac{ \alpha }{2} }{\left( a+b\right) \sin \frac{ \alpha }{2} } = \frac{2ab \cos \frac{ \alpha }{2} }{a+b}}\). Co wydaje się być poprawną odpowiedzią.

[Ania221]

Z tej równości otrzymujemy, że \(\displaystyle{ |CD| = \frac{ab \cdot \sin \alpha }{\left( a+b\right) \sin \frac{ \alpha }{2} } = \frac{2ab \sin \frac{ \alpha }{2} \cos \frac{ \alpha }{2} }{\left( a+b\right) \sin \frac{ \alpha }{2} } = \frac{2ab \cos \frac{ \alpha }{2} }{a+b}}\). Co wydaje się być poprawną odpowiedzią.

Zgadza się, dlatego sądzę, że w podanej tu treści zadania jest pomyłka.