Koło - optymalizacyjne

[greatdeath]

Cięciwa PQ o długości \(\displaystyle{ 8\sqrt{2}}\) podzieliła koło o promieniu \(\displaystyle{ 4\sqrt{3}}\) na dwa odcinki kołowe. W odcinek kołowy, który nie zawiera środka koła, wpisujemy trójkąty równoramienne ABC tak, że podstawa AB jest równoległa do cięciwy PQ, a wierzchołek C jest środkiem tej cięciwy. Wyznacz długości boków tego z trójkątów, który ma największe pole.

To zadanie maturalne przysporzyło mi i kolegom wiele trudności, a nasza nauczycielka nie potrafi nam tego dobrze wytłumaczyć. Jest ktoś kto mógłby spokojnie krok po kroku wyjaśnić to zadanie?

[Gouranga]

Ten trójkąt będzie miał największe pole gdy będzie równoboczny.

[szachimat]

A czy mieliście pochodne?

[greatdeath]

Tak. Wiem, że należy ułożyć równanie jednej zmiennej i potem poprzez ekstremum wyliczyć wszystko, chodzi mi o samo ułożenie równania jednej zmiennej.

[szachimat]

W takim razie jeszcze zapytam, czy w odpowiedzi wychodzą długości boków z pierwiastkami, czy bez?

[greatdeath]

Tu jest właśnie pies pogrzebany. Nie umiem dokopać się nigdzie do odpowiedzi (arkusz pochodził ze styczniowej matury próbnej nowej ery)...

[Asapi]

Poprowadź promień przez wierzchołek trójkąta, który leży na cięciwie, wylicz odległość tego punktu od środka(Pitagoras) poprowadź promień do jednego z wierzchołków leżących na okręgu i oznaczając jako niewiadome połowę boku i wysokość trójkąta znowu z Pitagorasa wylicz jedną za pomocą drugiej, a później już ze wzoru na pole i pochodnych optymalizacja.

[szachimat]

Ten trójkąt będzie miał największe pole gdy będzie równoboczny.

- nieprawda, bo będzie to trójkąt równoramienny o podstawie dł. \(\displaystyle{ 4 \sqrt{3}}\) i ramionach dł. 4.
Coś masz dzisiaj zły humor

[Gouranga]

szachimat, ja mam dobry humor (dopóki ktoś mnie nie zdenerwuje) ale to nie ma znaczenia. załozyłem tak z przyzwyczajenia, że największe pole zawsze jest przy najbardziej zbliżonym do foremnego.

[szachimat]

szachimat, ja mam dobry humor (dopóki ktoś mnie nie zdenerwuje) ale to nie ma znaczenia. załozyłem tak z przyzwyczajenia, że największe pole zawsze jest przy najbardziej zbliżonym do foremnego.

I z tym się w 100% zgadzam, bo z reguły takich wyników się spodziewamy, a rachunki tylko to potwierdzają. Zobaczymy, czy greatdeath dotrze do wyniku, jeżeli nie to pomożemy.

[Rude_Nistelrooy]

Wiem, że trochę czasu minęło oraz, że moje rozwiązanie nie jest zbyt optymalne (o ironio), ale wstawię, może komuś się przyda

\(\displaystyle{ D=\left( 0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left( \frac{\pi}{2}, \pi\right) }\)
\(\displaystyle{ \alpha}\) to kąt między promieniami

\(\displaystyle{ 1- \cos(\alpha)=\frac{128}{96} \Rightarrow \cos(\alpha)= -\frac13}\)

Ponieważ wiemy, że \(\displaystyle{ \alpha \in (0, \pi) \Rightarrow 1\ge \cos \alpha \ge -\frac13 }\) to przyda się później.

Rysujemy promień-\(\displaystyle{ r_1}\) przechodzący przez wierzchołek \(\displaystyle{ C}\) i kolejny-\(\displaystyle{ r_2}\) przechodzący przez wierzchołek \(\displaystyle{ A}\) lub \(\displaystyle{ B}\).

Odcinek \(\displaystyle{ AB}\) przecina \(\displaystyle{ r_1}\) w punkcie \(\displaystyle{ P}\).

Aby obliczyć pole trójkąta potrzebujemy zarówno długości \(\displaystyle{ r_1-OP}\) (nazwę tą długość \(\displaystyle{ y}\)) oraz \(\displaystyle{ PB}\).

Onaczmy kąt między \(\displaystyle{ r_1}\) i \(\displaystyle{ r_2}\) jako \(\displaystyle{ \beta }\).

Pole między końcami promieni \(\displaystyle{ r_1}\) i \(\displaystyle{ r_2}\) to \(\displaystyle{ x^2=2\cdot(4 \sqrt{3})^2 (1-\cos \beta ) }\) .

Dla uproszczenia zamiast \(\displaystyle{ (4 \sqrt{3})^2 }\) będę pisał \(\displaystyle{ 48}\).

Obliczmy wysokość tego trójkąta o bokach \(\displaystyle{ r_1,r_2}\) oraz \(\displaystyle{ x}\) z tw. Pitagorasa \(\displaystyle{ \frac{x^2}{4}+h_1^2=48 \Rightarrow h_1= \sqrt{6(1+\cos( \alpha ))} }\).

Obliczamy \(\displaystyle{ PB}\) (nazwę tę długość \(\displaystyle{ h_2}\)) wykorzystując pole opisywanego przeze mnie trójkąta uzyskanego z wzoru \(\displaystyle{ P=\frac12\cdot a\cdot b\cdot \sin\alpha}\):

\(\displaystyle{ P=\frac12\cdot 48\sin( \beta )=\frac12\cdot 4 \sqrt{3}\cdot h_2 \Rightarrow h_2=4 \sqrt{3}\sin( \alpha ).}\)

Zauważmy że trójkąt prostokątny o bokach: \(\displaystyle{ y,x,h_2}\) jest podobny do trójkąta \(\displaystyle{ \frac{x}{2},4 \sqrt{3},h1}\) na zasadzie (k,k,k).

Stąd wynika zależność która pozwoli nam obliczyć \(\displaystyle{ y}\): \(\displaystyle{ \frac{h_1}{x}=\frac{h_2}{y}}\) stąd \(\displaystyle{ y=\frac{x\cdot h_2}{h_1}.}\)

Po elementarnych przekształceniach \(\displaystyle{ y=4 \sqrt{3}(1-\cos( \beta )).}\)

Do całości układanki potrzebujemy długości \(\displaystyle{ OC}\) - wystarczy obliczyć pole między podanymi w zadaniu promieniami z wzoru \(\displaystyle{ P=\frac12\cdot a\cdot b\cdot \sin\alpha}\), podstawa tego trójkąta jest podana w zadaniu więc łatwo wyliczymy wysokość \(\displaystyle{ 8\sqrt{2}\cdot OC=48\sin( \alpha ) \Rightarrow OL=4 .}\)

Wartość sinusa-(\(\displaystyle{ \frac{2 \sqrt{2}}{3}}\)) uzyskujemy z wart cosinusa, np. wyobrażając sobie trójkąt prostokątny o bokach: \(\displaystyle{ 1,2 \sqrt{2},3}\).

Czas na optymalizację pola trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\): \(\displaystyle{ P=\frac12\cdot h_2\cdot 2(4 \sqrt{3}-OC-y) \Rightarrow P( \beta )=24\sin( \beta )^2-16 \sqrt{3}\sin( \beta ) }\).

Wyprowadzamy pochodną (\(\displaystyle{ \sin(2x)'=2\cos(2x)}\)): \(\displaystyle{ P'( \beta )=8(12\cos( \beta )^2-2 \sqrt{3}\cos( \beta )-6 )}\).

Ma ona miejsca zerowe (max lub min funkcji) dla \(\displaystyle{ \cos( \beta )= \frac{\sqrt{3}}{2} \vee \cos( \beta )=- \frac{\sqrt{3}}{3} }\).

Drugie rozwiązanie wykluczamy ze względu na dopuszczalne wartości cosinusa (tu właśnie się to przydaje).

Z pierwszego rozwiązania jedynym kątem w 1. lub 2. ćwiartce jest \(\displaystyle{ \beta = \frac{\pi }{6} \Rightarrow 2 \beta = \frac{\pi}{3}}\).

\(\displaystyle{ 2 \beta }\) to kąt pomiędzy promieniami których końcem są punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) dla trójkąta o największym polu.

To oznacza że trójkąt \(\displaystyle{ OAB}\) jest równoramienny, wyprowadzenie, że \(\displaystyle{ CB=CA=4}\) to już child's play.



Chwila refleksji nad pierwszym zadaniem jakie tu publikuje: Przepraszam za nieanalityczny zapis, oraz pomijanie katorżniczych wyprowadzeń, ale bardzo długo zajmuje napisanie czegoś takiego, spróbujcie sami. Mogą wkraść się jakieś błędy, jak ktoś mi wypomni to je poprawię. Hmm, myślę, że jeśli ktokolwiek to w ogóle przeczyta to już będzie sukces.

[JHN]

To i inne (przyjazne dla abiturienta) rozwiązanie:
Niech \(\displaystyle{ S}\) środek okręgu, \(\displaystyle{ M}\) środek \(\displaystyle{ \overline{AB}}\). Wtedy

\(\displaystyle{ 1^\circ\ SC=4}\) z \(\displaystyle{ \Delta SCP}\) i tw. Pitagorasa

\(\displaystyle{ 2^\circ\ }\) Jeśli \(\displaystyle{ CM=x\wedge x\in (0;\ 4\sqrt3-4)}\), to \(\displaystyle{ BM=\sqrt{(4\sqrt3)^2-(x+4)^2}}\) z \(\displaystyle{ \Delta SMB }\) i tw. Pitagorasa

\(\displaystyle{ 3^\circ\ P_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot 2BM\cdot CM=\sqrt{-x^4-8x^3+32x^2}}\)

\(\displaystyle{ 4^\circ}\) Rozpatrzmy \(\displaystyle{ y=f(x)=-x^4-8x^3+32x^2\wedge D=(0;\ 4\sqrt3-4)}\)

\(\displaystyle{ 5^\circ\ y'=f'(x)=-4x^3-24x^2+64x=-4x(x+8)(x-2)\wedge D'=D}\)

\(\displaystyle{ 6^\circ\ \text{WKIE:}\ \ y'=0\iff x=2}\)

\(\displaystyle{ 7^\circ\ \text{WDIE:}}\) w lewym sąsiedztwie \(\displaystyle{ 2}\) pochodna jest dodatnia, w prawym - ujemna, zatem dla \(\displaystyle{ x=2}\) funkcja osiąga wartość maksymalną \(\displaystyle{ y=48}\)

Stąd odpowiedź:
Największe pole, równe \(\displaystyle{ \sqrt{48}=4\sqrt{3}}\), ma trójkąt o bokach: \(\displaystyle{ AB=2\cdot MB=4\sqrt{3}}\) (z \(\displaystyle{ 2^\circ}\)) i \(\displaystyle{ CB=CA=4}\) (z \(\displaystyle{ \Delta CMB}\) i tw. Pitagorasa)

Pozdrawiam

PS. Na rysunku można znaleźć trójkąt równoboczny

[bosa_Nike]

Jeszcze odrobinę inaczej, przy oznaczeniach jak u JHN.
Ponieważ \(\displaystyle{ (x+2+2)^2\ge 3(2x+2x+2\cdot 2)}\), więc
$$P_{\Delta ABC}=x\sqrt{(4\sqrt3)^2-(x+4)^2}\le x\sqrt{48-12(x+1)}=\sqrt{6}\cdot\sqrt{x^2(6-2x)}\le\sqrt{6}\cdot\sqrt{\left(\frac{x+x+6-2x}{3}\right)^3}=4\sqrt{3}$$ osiągane, gdy jednocześnie \(\displaystyle{ x=6-2x}\) oraz \(\displaystyle{ x=2}\), co szczęśliwie zachodzi.