Stosunek pól trójkątów w trapezie

[edzia96]

Przekątna trapezu równoramiennego abcd tworzy z dłuższą podstawą kąt \(\displaystyle{ \alpha}\), a z ramieniem AD - kąt \(\displaystyle{ \beta}\). Wyznacz stosunek pola trójkąta ACD do pola trójkąta ABC.

Zaczęłam od opuszczenia wysokości z wierzchołka C na bok AB.
I wyznaczyłam jej długość za pomocą funkcji trygonometrycznych.
\(\displaystyle{ |CE|= \frac{2}{\tg\alpha \cdot \left( a+b\right) }}\)
niestety. po podstawieniu do wzoru na pole powierzchni trójkąta wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\).
a w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ \frac{\tg\left( \alpha+\beta\right) -\tg\alpha}{\tg\left( \alpha+\beta\right) +\tg\alpha}}\)

[Zahion]

Czym jest \(\displaystyle{ a,b}\) ? W poleceniu masz podane tylko kąty \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\), są to Twoje jedyne dane, za pomocą których musisz obliczyć ten stosunek.

[edzia96]

\(\displaystyle{ a}\)-krótsza podstawa
\(\displaystyle{ b}\)-dłuższa podstawa
wprowadziłam je zamiast \(\displaystyle{ |AB|}\), \(\displaystyle{ |CD|}\) dla ułatwienia sobie obliczeń, ale jak widać, nie był to najlepszy pomysł ;/

[Zahion]

Pamiętaj, że jedyne dane, które znasz to miary kątów, nie znasz długości podstaw.
Ja natomiast rozwiązałbym inaczej to zadanie.
Zauważ, że wzór na pole trójkąta to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}ab \cdot \sin \alpha}\), \(\displaystyle{ \alpha}\) to kąt pomiędzy ramionami boków o długościach \(\displaystyle{ a, b}\). Stąd można łatwo zapisać, że pole trójkąta \(\displaystyle{ ACD}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{2} |AD| \cdot |AC| \cdot \sin \beta}\). Zauważmy teraz, że \(\displaystyle{ |AD|=|BC|}\). Przyda nam się kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ C}\). Wynosi on \(\displaystyle{ 180 - \left( \left( \alpha + \beta \right) + \alpha\right) = 180 - 2 \left( \alpha + \beta \right)}\). Stąd wzór na pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{2} |AC| \cdot |BC| \cdot \sin\left( 180 -2 \alpha - \beta\right) =\frac{1}{2} |AC| \cdot |BC| \cdot \sin \left( 2 \alpha +\beta\right)}\). Biorąc iloraz tych pól otrzymamy iloraz sinusów, co da nam odpowiedz.

[edzia96]

Wszystko już ogarnęłam. Tylko jak z ilorazu sinusów, przejść na tangensy?
Bo próbowałam rozbić mianownik ze wzoru na sinus sum, potem użyłam na sin2x i cos2x, ale to wszystko mi się bardzo rozwinęło i nie wiem jak dobrnąć do końca

[Zahion]

W zadaniu masz obliczyć stosunek pól trójkątów za pomocą danych, czyli \(\displaystyle{ \alpha , \beta}\).
Czy obliczyliśmy ?

[SlotaWoj]

Wynik:

• \(\displaystyle{ \frac{S_{ACD}}{S_{ABC}}=\frac{\sin\beta}{\sin(2\alpha+\beta)}}\)

jest poprawny i jest wystarczająco zwięzły, że może być uznany za wynik końcowy.

• \(\displaystyle{ \frac{\sin\beta}{\sin(2\alpha+\beta)}=\frac{\tg(\alpha+\beta)-\tg\alpha}{\tg(\alpha+\beta)+\tg\alpha}}\)

jest tożsamością, ale wykazanie tego chyba nie będzie łatwe, nie mówiąc już o odkryciu, ze taka tożsamość istnieje.

[edzia96]

To ma pytanie, czy zostawiając to w taki sposób, będę miała zaliczone zadanie na maturze?

[Zahion]

Tak.