Matematyczne uzasadnienie?

[Anxious]

Witam, potrzebuje pomocy z uzasadnieniem metody, którą opracowałem tak "na logikę" i skutecznie stosowałem przy rozwiązywaniu zadań, aczkolwiek ostatnio tracąc punkty na teście za brak uzasadnienia.

Przykładowe zadanie: mam podane długości podstaw i wysokość trapezu równoramiennego, potrzebuje znaleźć wysokość trójkąta powstałego przez przedłużenie ramion.

AU

11uw852.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 989 razy

To w jaki sposób to robiłem to było odejmowanie krótszej podstawy od dłuższej. Moją metodę można zapisać takim wzorem:

\(\displaystyle{ \frac{18}{18-12} \cdot 6}\) (czyli dłuższa podstawa, dzielona przez różnicę podstaw razy wysokość)

Czy ktoś mógłby mi pomóc z udowodnieniem słuszności tej metody lub po prostu zaoferować prosty sposób na liczenie tej wysokości? To raczej nic trudnego, ale z góry bardzo dziękuje

[lukasz1804]

Jeśli \(\displaystyle{ x}\) oznacza wysokość "mniejszego" trójkąta, to z twierdzenia Talesa otrzymamy \(\displaystyle{ \frac{x}{12}=\frac{x+6}{18}}\). Stąd dostajemy \(\displaystyle{ 18x=12(x+6)\iff 6x=12\cdot 6\iff x=12}\). Zatem wysokość "dużego" trójkąta wynosi \(\displaystyle{ x+6=12+6=18}\).

[Anxious]

Myślałem, że z Talesem będzie to wyglądać bardziej skomplikowanie, aczkolwiek rzeczywiście ładnie się liczy. Dziękuję

[a4karo]

Jeżeli stosujesz metodę, to raczej Ty powinieneś uzasadnić jej słuszność, a nie pytac innych .

Twierdzenie Talesa jest tu własciwym narzędziem i Twoje rozumowanie jest wnioskiem z niego, ale faktycznie nie wybrałeś najprostszej proporcji.

[AndrzejK]

Twoja metoda oczywiście też jest poprawna i wynika bezpośrednio z podobieństwa trójkątów.
Jeśli oznaczymy dłuższą podstawę przez \(\displaystyle{ 2a}\), a krótszą przez \(\displaystyle{ 2b}\), to:

AU

dTAaLZx.png (4.62 KiB) Przejrzano 989 razy

\(\displaystyle{ \frac{H}{h}=\frac{a}{a-b}=\frac{2a}{2a-2b}}\).
Zatem \(\displaystyle{ H=\frac{2a}{2a-2b} \cdot h}\). W twoim przypadku \(\displaystyle{ 2a=18}\), \(\displaystyle{ 2b=12}\), \(\displaystyle{ h=6}\).

z twierdzenia Talesa otrzymamy \(\displaystyle{ \frac{x}{12}=\frac{x+6}{18}}\)

To moim zdaniem błędne stwierdzenie - ta zależność wynika z podobieństwa trójkątów, a nie twierdzenia Talesa.

[madmathman]

Tales to a priori podobieństwo i na odwrót.

[bakala12]

madmathman, zgadza się, jednakże nazywając twierdzenia z których korzystamy powinno używać się prawidłowej terminologii matematycznej. Dlatego też ja w 100% zgadzam się z tym co napisał AndrzejK.