Siemka. Od dłuższego czasu zastanawiam się nad dwoma zadankami, niestety nie wiem jak je rozwiązać. Liczę na pomoc
Zad. 1
Wyznacz miary kątów wpisanego w okrąg czworokąta ABCD.
Zad. 2
Czworokąt zaznaczony na rysunku jest wyznaczony przez dwusieczne katów trapezu ABCD. Wykaż, że można na nim opisać okrąg.
2 ciekawe zadanka
-
bakala12
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
2 ciekawe zadanka
Zadanie pierwsze.
Oznacz sobie \(\displaystyle{ \angle BAD =\alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \angle ABC=\beta}\). Wówczas jakie są miary kątów przy wierzchołkach \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\) w czworokącie \(\displaystyle{ ABCD}\) (warunek wpisywalności czworokąta w okrąg). Potem policz sumy kątów w trójkątach \(\displaystyle{ BCK}\) i \(\displaystyle{ CDM}\) (obie są równe oczywiście \(\displaystyle{ 180^{\circ}}\)). Dostaniesz układ równań na \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\).
Zadanie drugie.
Oznaczmy kąty przy wierzchołkach czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\) przez \(\displaystyle{ 2\alpha,2\beta, 2\gamma, 2\delta}\). Wówczas nietrudno policzyć kąty tego małego czworokąta. Trzeba pokazać, w tym małym czworokącie przeciwległe kąty sumują się do \(\displaystyle{ 180^{\circ}}\) (dlaczego?)
Oznacz sobie \(\displaystyle{ \angle BAD =\alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \angle ABC=\beta}\). Wówczas jakie są miary kątów przy wierzchołkach \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\) w czworokącie \(\displaystyle{ ABCD}\) (warunek wpisywalności czworokąta w okrąg). Potem policz sumy kątów w trójkątach \(\displaystyle{ BCK}\) i \(\displaystyle{ CDM}\) (obie są równe oczywiście \(\displaystyle{ 180^{\circ}}\)). Dostaniesz układ równań na \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\).
Zadanie drugie.
Oznaczmy kąty przy wierzchołkach czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\) przez \(\displaystyle{ 2\alpha,2\beta, 2\gamma, 2\delta}\). Wówczas nietrudno policzyć kąty tego małego czworokąta. Trzeba pokazać, w tym małym czworokącie przeciwległe kąty sumują się do \(\displaystyle{ 180^{\circ}}\) (dlaczego?)
-
Michalinho
- Użytkownik
- Posty: 495
- Rejestracja: 17 wrz 2013, o 16:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Chełm
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 104 razy
2 ciekawe zadanka
Zadanie 1.
Oznaczmy miarę kąta \(\displaystyle{ \angle DCB}\) przez \(\displaystyle{ \alpha}\). Wtedy wiedząc, że suma miar kątów w trójkątach \(\displaystyle{ MCD}\) i \(\displaystyle{ KCB}\) możemy obliczyć: \(\displaystyle{ \angle ADC = 150^\circ - \alpha}\) i \(\displaystyle{ \angle CBA = 160^\circ - \alpha}\). Ponieważ suma miar kątów \(\displaystyle{ \angle CBA}\) i \(\displaystyle{ \angle ADC}\) wynosi \(\displaystyle{ 180^\circ}\), mamy:
\(\displaystyle{ 150^\circ - \alpha + 160^\circ - \alpha = 180^\circ \Rightarrow \alpha = 65^\circ}\).
A więc:
\(\displaystyle{ \angle ADC=85^\circ, \angle CBA=95^\circ, \angle DCB=65^\circ, \angle BAD=115^\circ}\)
Zadanie 2.
Pokaż, że dwusieczne kątów przy jednym ramieniu trapezu przecinają się pod kątem prostym. Wtedy suma przeciwległych kątów w powstałym czworokącie wynosi \(\displaystyle{ 180^\circ}\). Stąd teza.
EDIT: bakala12 pierwszy
Oznaczmy miarę kąta \(\displaystyle{ \angle DCB}\) przez \(\displaystyle{ \alpha}\). Wtedy wiedząc, że suma miar kątów w trójkątach \(\displaystyle{ MCD}\) i \(\displaystyle{ KCB}\) możemy obliczyć: \(\displaystyle{ \angle ADC = 150^\circ - \alpha}\) i \(\displaystyle{ \angle CBA = 160^\circ - \alpha}\). Ponieważ suma miar kątów \(\displaystyle{ \angle CBA}\) i \(\displaystyle{ \angle ADC}\) wynosi \(\displaystyle{ 180^\circ}\), mamy:
\(\displaystyle{ 150^\circ - \alpha + 160^\circ - \alpha = 180^\circ \Rightarrow \alpha = 65^\circ}\).
A więc:
\(\displaystyle{ \angle ADC=85^\circ, \angle CBA=95^\circ, \angle DCB=65^\circ, \angle BAD=115^\circ}\)
Zadanie 2.
Pokaż, że dwusieczne kątów przy jednym ramieniu trapezu przecinają się pod kątem prostym. Wtedy suma przeciwległych kątów w powstałym czworokącie wynosi \(\displaystyle{ 180^\circ}\). Stąd teza.
EDIT: bakala12 pierwszy