Pytanie o zależność między przekątnymi a polem czworokąta.

czesio246 · Post autor: **czesio246** » 24 lut 2015, o 21:43

Czy prawdą jest, że przekątne dzielą czworokąt wypukły na takie dwie pary trójkątów, których iloczyny pól są równe?
Jeśli tak, to dlaczego?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 24 lut 2015, o 21:48

Skorzystaj ze wzoru na pole trójkąta: \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}ab\sin\alpha}\) (iloczyn długości boków przez sinus kąta między nimi) i z tego, że w czworokącie wypukłym suma kątów wewnętrznych to \(\displaystyle{ 360^{\circ}}\).

szachimat · Post autor: **szachimat** » 24 lut 2015, o 23:17

Jeżeli zrobisz rysunek czworokąta tak, aby podstawa była na dole i podzielisz go przekątnymi, to otrzymasz dwa trójkąty (na dole i na górze) o takich samych kątach wierzchołkowych \(\displaystyle{ \alpha}\), oraz dwa trójkąty (po lewej i po prawej stronie) o takich samych kątach \(\displaystyle{ 180- \alpha}\).
Skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ sin(180- \alpha )=sin \alpha}\), oraz ze wzoru na pole trójkąta podanego przez szw1710 i porównaj iloczyn pól trójkąta górnego i dolnego z iloczynem prawego i lewego. Co otrzymasz?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 24 lut 2015, o 23:21

Rozważasz tutaj czworokąt wpisany w koło - to nie jest ogólny czworokąt wypukły.

Poprzednio ja też coś pomyliłem: suma miar kątów wewnętrznych w każdym czworokącie (nie tylko wypukłym) to \(\displaystyle{ 360^{\circ}}\). Wystarczy sobie jakkolwiek podzielić na dwa trójkąty.

szachimat · Post autor: **szachimat** » 24 lut 2015, o 23:33

szw1710 pisze:Rozważasz tutaj czworokąt wpisany w koło - to nie jest ogólny czworokąt wypukły.

Ale mam namyśli kąty przy punkcie przecięcia przekątnych a nie kąty miedzy między bokami czworokąta (napisałem "otrzymasz dwa trójkąty (na dole i na górze) o takich samych kątach wierzchołkowych")

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 24 lut 2015, o 23:35

Tak - nie doczytałem - Twoja wskazówka jest poprawna.

Pytanie do autora wątku: czesio246, gdzie wykorzystano wypukłość czworokąta?