Czworokąt wpisany w okrąg

[adinho58]

Witam. Mam problem z tym zadaniem i nie wiem nawet jak je ruszyć. Byłbym wdzięczymy za wskazówki

Czwrokat \(\displaystyle{ ABCD}\) jest wpisany w okrąg. Proste \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) przecinająsie pod kątem \(\displaystyle{ 20 st.}\), a proste \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BC}\) - pod kątem \(\displaystyle{ 30 st.}\). Oblicz miary kątów czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\)

[Vether]

Niech proste \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ P}\), a proste \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ Q}\). Z treści zadania mamy \(\displaystyle{ \sphericalangle BPC =20^\circ}\) oraz \(\displaystyle{ \sphericalangle DQC = 30^\circ}\). Oznaczmy sobie kąt \(\displaystyle{ \sphericalangle BCP =x}\). Wtedy również \(\displaystyle{ \sphericalangle DCQ =x}\) oraz \(\displaystyle{ \sphericalangle BAD =x}\). Potrafisz wyjaśnić, dlaczego?

[szachimat]

Stosujemy tw. o czworokącie wpisanym w okrąg, w konsekwencji którego rozwiązujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha + \beta +30 ^{0}=180 ^{0} \\ \beta + 180^{0}- \alpha + 20^{0}= 180^{0} \end{cases}}\)

[adinho58]

Niech proste \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ P}\), a proste \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ Q}\). Z treści zadania mamy \(\displaystyle{ \sphericalangle BPC =20^\circ}\) oraz \(\displaystyle{ \sphericalangle DQC = 30^\circ}\). Oznaczmy sobie kąt \(\displaystyle{ \sphericalangle BCP =x}\). Wtedy również \(\displaystyle{ \sphericalangle DCQ =x}\) oraz \(\displaystyle{ \sphericalangle BAD =x}\). Potrafisz wyjaśnić, dlaczego?

Niestety nie...

Stosujemy tw. o czworokącie wpisanym w okrąg, w konsekwencji którego rozwiązujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha + \beta +30 ^{0}=180 ^{0} \\ \beta + 180^{0}- \alpha + 20^{0}= 180^{0} \end{cases}}\)

Skąd wziąłeś ten układ równań ?

[Vether]

Kąty \(\displaystyle{ \sphericalangle BCP}\) i \(\displaystyle{ \sphericalangle DCQ}\) są wierzchołkowe, skąd pierwsza z równości. Dalej skoro \(\displaystyle{ \sphericalangle BCP =x}\), to \(\displaystyle{ \sphericalangle BCD =180^\circ -x}\), a przeciwległe kąty w czworokącie wpisanym w okrąg sumują się do \(\displaystyle{ 180^\circ}\), czyli:
\(\displaystyle{ \sphericalangle BAD +\sphericalangle BCD =180^\circ}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle BAD + 180^\circ -x = 180^\circ}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle BAD =x}\).
Zgadza się?
Dalej: Jakie miary mają pozostałe kąty (\(\displaystyle{ \sphericalangle ABC}\) i \(\displaystyle{ \sphericalangle ADC}\)?

[szachimat]

Różnica polega na tym, jakie kto przyjmuje oznaczenia, stąd może w twojej głowie pojawia się mętlik. Ponieważ ja i Vether prawie w tym samym czasie wysłaliśmy swoje posty, więc może mamy inne rysunki. A zatem mam pytanie: czy na swoim rysunku (bo pewnie jakiś posiadasz) punkt przecięcia prostych AB i CD masz po stronie punktu A, czy po stronie punktu B?

[adinho58]

Spokojnie jakoś sobie poradziłem
Wyszło mi
Dziękuję za pomoc