Kwadrat wpisany w trójkąt równoboczny-podobieństwo trójkątów

adinho58 · Post autor: **adinho58** » 23 lut 2015, o 19:27

W trójkącie równoramiennym dana jest długość \(\displaystyle{ c}\) podstawy \(\displaystyle{ AB}\) oraz wysokość \(\displaystyle{ h}\) poprowadzona z wierzchołka \(\displaystyle{ C}\) Oblicz długość boku kwadratu wpisanego w ten trójkąt tak, że dwa wierzchołki kwadratu należą do podstawy trójkąta, pozostałe zaś do jego ramion.

Jak to zrobić ?

Post autor: **Zahion** » 23 lut 2015, o 19:37

Oznacz wierzchołki należące do ramion trójkąta jako \(\displaystyle{ P,Q}\) i zauważ, że trójkąty \(\displaystyle{ PQC, ABC}\) są podobne (kkk).

Dilectus · Post autor: **Dilectus** » 23 lut 2015, o 19:59

Narysuj sytuację wyjściową, czyli ten kwadrat wpisany w trójkąt równoramienny. Oznaczmy przez \(\displaystyle{ b}\) bok tego kwadratu.
Zauważ podobieństwo trójkątów, ułóż odpowiednie proporcje. Z tych proporcji dowiesz się, że

\(\displaystyle{ b= \frac{c\left( h-c\right) }{h}}\)

adinho58 · Post autor: **adinho58** » 23 lut 2015, o 20:23

Jaki podobieństwo jakie proporcje ?

Jedna proporcja : \(\displaystyle{ \frac{h}{ \frac{1}{2}c } = \frac{ \beta }{ \frac{b}{2} }}\) gdzie \(\displaystyle{ h=b+ \beta}\) I jakie inne podobieństwa ułożyć by to wyszło ?

Dilectus · Post autor: **Dilectus** » 23 lut 2015, o 20:32

Co to jest u Ciebie \(\displaystyle{ \beta}\)?
Ile podobnych trójkątów prostokątnych tu widzisz? - Porównaj odpowiednie przyprostokątne.

szachimat · Post autor: **szachimat** » 23 lut 2015, o 20:40

Dilectus pisze:Narysuj sytuację wyjściową, czyli ten kwadrat wpisany w trójkąt równoramienny. Oznaczmy przez \(\displaystyle{ b}\) bok tego kwadratu.
Zauważ podobieństwo trójkątów, ułóż odpowiednie proporcje. Z tych proporcji dowiesz się, że

\(\displaystyle{ b= \frac{c\left( h-c\right) }{h}}\)

Chyba wkradła ci się literówka.

Dilectus · Post autor: **Dilectus** » 23 lut 2015, o 20:45

Chyba wkradła ci się literówka.

Gdzie?

adinho58 · Post autor: **adinho58** » 23 lut 2015, o 20:47

Dilectus pisze:Co to jest u Ciebie \(\displaystyle{ \beta}\)? Ile podobnych trójkątów prostokątnych tu widzisz? - Porównaj odpowiednie przyprostokątne.

\(\displaystyle{ \beta}\) to jakby reszta wysokości nad kwadratem

No widzę ten który był podany w pierwszy poście,ale wtedy muszę wprowadzać kolejną niewiadomą...
noi ten który podałem w poście wyżej. A reszta to jest już to samo o ile się nie mylę...

szachimat · Post autor: **szachimat** » 23 lut 2015, o 20:51

Dilectus pisze:
Chyba wkradła ci się literówka.
Gdzie?

U góry w nawiasie zamiast "c" powinno być "b"

adinho58 · Post autor: **adinho58** » 23 lut 2015, o 20:59

Dobra już mam.
Wysokość to \(\displaystyle{ h}\) zaś wysokość trójkąta będącego na kwadratem to \(\displaystyle{ h-b}\)
Bok kwadratu \(\displaystyle{ b}\)

czyli proporcje : \(\displaystyle{ \frac{h}{ \frac{c}{2} } = \frac{h-b}{ \frac{b}{2} }}\)

szachimat · Post autor: **szachimat** » 23 lut 2015, o 21:02

adinho58 pisze:Dobra już mam.
Wysokość to \(\displaystyle{ h}\) zaś wysokość trójkąta będącego na kwadratem to \(\displaystyle{ h-b}\)
Bok kwadratu \(\displaystyle{ b}\)

czyli proporcje : \(\displaystyle{ \frac{h}{ \frac{c}{2} } = \frac{h-b}{ \frac{b}{2} }}\)

Dobrze.

adinho58 · Post autor: **adinho58** » 25 lut 2015, o 09:01

W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) mamy dane : \(\displaystyle{ \left| AC\right| = \left| BC\right| =b}\) oraz \(\displaystyle{ \left| AB\right| =a}\) Dwusieczne kątów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) przecinają przeciwległe boki odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\), same zaś przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ O}\).

Mam wykazać, ze \(\displaystyle{ \left| KL \right| = \frac{ab}{a+b}}\)
układam proporcję z której otrzymuję : \(\displaystyle{ \left| KL\right| = \frac{A(B-\left| AL\right| )}{B}}\)
I nie mogę jakoś sensownie tego \(\displaystyle{ \left| AL \right|}\) wyliczyć...
próbowałem stworzyć jakiś czworokąt, gdzie podstawa by zawierała podstawę czworokąta oraz 2 podstawy trójkąta prostokątnego, ale też guzik wychodził...
Jak wyliczyłem \(\displaystyle{ \left| AL\right|}\) to po podstawieniu do otrzymanej proporcji po prostu mi się to zerowało...
czy też układałem proporcję : \(\displaystyle{ \frac{\left| AO\right| }{\left| AL\right| } = \frac{\left| AO\right|}{A}}\) Jednak to nadal dawało zły wynik.
Jakieś pomysły ?

szachimat · Post autor: **szachimat** » 25 lut 2015, o 09:13

Co to za zapis: \(\displaystyle{ \left| KL\right| = \frac{A(B-\left| AL\right| )}{B}}\)

adinho58 · Post autor: **adinho58** » 25 lut 2015, o 09:24

Ułożona proporcja :
\(\displaystyle{ \left| LC\right| = b - \left| AL\right|}\)
\(\displaystyle{ \frac{b}{a} = \frac{b - \left| AL\right|}{\left| KL\right| } \Rightarrow \left| KL\right| = \frac{a(b-\left| AL\right| )}{b}}\)

szachimat · Post autor: **szachimat** » 25 lut 2015, o 09:28

A to wielkości liter nie mają znaczenia?