Obliczyc promien tych kul.

[karololcia]

Kwadrat o boku \(\displaystyle{ a}\) zgięto wzdłuż jednej z przekątnych tak, aby odległość pozostałych wierzchołków była równa połowie długosci przekątnej kwadratu. W tak powstały czworościan wpisano dwie identyczne, wzajemnie styczne kule. Obliczyc promien tych kul.

[Dilectus]

Przekrój tego czworościanu płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek i przez wysokość podstawy jest trójkątem równobocznym o boku \(\displaystyle{ b}\) równym połowie długości przekątnej kwadratu

\(\displaystyle{ b=a \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) Wpiszmy w ten trójkąt dwa okręgi o promieniu \(\displaystyle{ r}\) wzajemnie styczne (będą to przekroje kul, których promień mamy wyznaczyć).
Z właściwości trójkąta równobocznego o boku \(\displaystyle{ x}\) wynika, że promień okręgu wpisanego będzie równy

\(\displaystyle{ r= \frac{1}{3}h= \frac{1}{3} x \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

A jeśli w trójkąt równoboczny o boku \(\displaystyle{ b}\) wpiszemy dwa okręgi o tym samym promieniu wzajemnie styczne, to wysokość \(\displaystyle{ h}\) tego trójkąta będzie równa

\(\displaystyle{ h=5r=b \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

U nas

\(\displaystyle{ b=a \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

Zatem

\(\displaystyle{ r=a \frac{ \sqrt{2} \sqrt{3} }{20}}\)

Chyba, że się gdzieś rąbnąłem...