Okrąg wpisany w kąt wypukły

[adinho58]

W kąt wypukły wpisano okrąg. Punkty styczności okręgu z ramionami kata dzielą okrąg na dwa łuki, z których jeden jest \(\displaystyle{ k}\) dłuższy od drugiego, \(\displaystyle{ k \in R}\). Oblicz miarę tego kata.

Ten mniejszy łuk to \(\displaystyle{ x}\) zaś reszta okręgu to \(\displaystyle{ kx}\) zaś obwód to \(\displaystyle{ x + xk}\) ?
i jak ułożyć równanie ?

pozdrawiam.

[Kacperdev]

wskazówka: rozpatrz kąt między promieniami (które są styczne z ramionami kąta). W tym celu skorzystaj ze wzoru na długość łuku w okręgu:

\(\displaystyle{ \frac{\alpha}{360^{\circ} } 2 \pi r}\)

[adinho58]

ale co mam podstawić za \(\displaystyle{ 2 \pi r}\) ? \(\displaystyle{ x+xk}\)
mi chodzi jakie mam niewiadome podstawić.

[Kacperdev]

Jeden łuk ma miarę \(\displaystyle{ x}\) a drugi \(\displaystyle{ kx}\)

więc: \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{360^{\circ} } 2 \pi r =x}\)

oraz \(\displaystyle{ \frac{360^{\circ} -\alpha}{360^{\circ} } 2 \pi r =kx}\)

Teraz wystarczy drugie równanie podzielić przez \(\displaystyle{ k}\) obustronnie i porównać do siebie... wiele zmiennych się zredukuje.

[adinho58]

\(\displaystyle{ \frac{\frac{360^{\circ} -\alpha}{360^{\circ} } 2 \pi r }{k} =\frac{\alpha}{360^{\circ} } 2 \pi r}\)
Przenosze wszystko an lewo :
\(\displaystyle{ 1= \frac{360^{\circ} -\alpha}{k \frac{ \alpha }{360} }}\) ale co dalej ?

[kropka+]

Źle przekształciłeś.

[adinho58]

A jak powinno byc ?

[Kacperdev]

Drugie równanie dziele obustronnie przez \(\displaystyle{ k}\), więc otrzymuje:

\(\displaystyle{ \frac{360^{\circ} -\alpha}{k360^{\circ} } 2 \pi r =x}\)

Teraz przyrónuje pierwsze równanie z drugim:

\(\displaystyle{ \frac{\alpha}{360^{\circ} } 2 \pi r=\frac{360^{\circ} -\alpha}{k360^{\circ} } 2 \pi r}\)

redukuje co się da:

\(\displaystyle{ \alpha=\frac{360^{\circ} -\alpha}{k }}\)