Pole czworokąta

[madmathman]

Prowadzimy dwie proste równoległe \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) w odległości \(\displaystyle{ d}\) jedna od drugiej. Na jednej z nich zaznaczamy odcinek \(\displaystyle{ EF}\) (\(\displaystyle{ |EF|=2x}\)) taki aby zachodziło \(\displaystyle{ x<d}\). Wybieramy dowolny punkt z tego odcinka (za wyjątkiem jego końców) \(\displaystyle{ G}\) i prowadzimy odcinek do niego prostopadły \(\displaystyle{ GH}\) (\(\displaystyle{ |GH|=x}\)), tak aby leżał on między prostymi. Prowadzimy proste \(\displaystyle{ EH}\) i \(\displaystyle{ FH}\), które przecinają drugą prostą w punktach \(\displaystyle{ I}\) oraz \(\displaystyle{ J}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ P_{EFIJ}=d^2}\).

[bakala12]

Oczywiście nasz czworokąt to trapez. Z podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ \Delta EFH}\) i \(\displaystyle{ \Delta IJH}\) dostajemy \(\displaystyle{ IJ=2\left(d-x\right)}\). Ze wzoru na pole trapezu, teza.

[madmathman]

Dziękuję