wkw dla trapezów?

[madmathman]

Wykazać, że ze wszystkich czworokątów, tylko trapez ma daną własność.

Czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) jest trapezem wtedy i tylko wtedy, gdy po podzieleniu go przekątnymi na cztery trójkąty dostajemy \(\displaystyle{ P_L=P_p}\), gdzie \(\displaystyle{ P_L}\) - pole lewego trójkąta natomiast \(\displaystyle{ P_P}\) - pole prawego trójkąta. (żeby rozwiać wątpliwości napiszę, że oprócz są jeszcze dolny i górny, które w trapezach są zawsze podobne)

[bakala12]

Sformułujmy to znane zadanie jaśniej, mianowicie:
Czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) jest trapezem (\(\displaystyle{ AB \parallel CD}\)) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ P_{BCS}=P_{ADS}}\) gdzie \(\displaystyle{ S}\) jest punktem przecięcia przekątnych czworokąta.
Dowód:
\(\displaystyle{ \Rightarrow}\)
Z własności trapezu \(\displaystyle{ P_{ABC}=P_{ABD}}\). Odejmując obustronnie \(\displaystyle{ P_{ABS}}\) dostajemy tezę.
\(\displaystyle{ \Leftarrow}\)
Po dodaniu do naszej równości obustronnie pola trójkąta \(\displaystyle{ ABS}\) dostajemy \(\displaystyle{ P_{ABC}=P_{ABD}}\), a zatem punkty \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\) leżą po tej samej stronie prostej \(\displaystyle{ AB}\) w tej samej odległości od niej, co oznacza \(\displaystyle{ AB \parallel CD}\), co daje tezę.

[madmathman]

Nie wiem czy jedna z implikacji jest rzeczywiście "znanym zadaniem" ale dzięki

[bakala12]

No ja to zadanie ( w obie strony) robiłem co najmniej kilka razy, więc dla mnie było znane

[madmathman]

Aż sam się sobie dziwię. Ja tą drugą implikację (czyli że jak równe pola to trapez) robiłem przez ad absurdum. Zakładałem, że dany trapezoid nie jest trapezem, czyli z dowolnego górnego wierzchołka mogę poprowadzić podstawę równoległą do dolnej podstawy. Następnie wychodziła sprzeczność przy porównywaniu pól trójkątów. A tu proszę taki naprawdę trywialny dowód wprost Jeszcze raz dzięki