n-kąt foremny

[mac18]

Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(\displaystyle{ a, b}\) i przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ c}\).
Wykaż, że suma pól \(\displaystyle{ n-}\)kąta foremnego o boku \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ n-}\)kąta foremnego o boku \(\displaystyle{ b}\) jest równa polu \(\displaystyle{ n-}\)kąta foremnego o boku \(\displaystyle{ c}\) dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \ge 3}\).

Hejka,
Zapisałem sobie twierdzenie Pitagorasa, bo jak mi się wydaję, będzie potrzebne.
Nie wiem, natomiast jak zapisać pole \(\displaystyle{ n-}\)kąta foremnego.
Mógłby mnie ktoś naprowadzić ?

[yorgin]

Wartości pól nie są do niczego potrzebne. Skoro wszystkie są \(\displaystyle{ n}\)-kątami, to są figurami podobnymi. Ich skale podobieństwa określa stosunek odpowiednich boków. Twierdzenie Pitagorasa pomóże niewątpliwie w uzasadnieniu, że suma pól się zgadza.

[mac18]

Ok, dzięki. Przypomniałem sobie, wielokąty podobne - boki są proporcjonalne w skali np. \(\displaystyle{ k}\).
Więc pola będą podobne w skali \(\displaystyle{ k^2}\).

[yorgin]

Zgadza sie.

[mac18]

Jednak nie potrafię tego zrobić :C

[yorgin]

Niech pole wielokąta zbudowanego na boku \(\displaystyle{ a}\) wynosi \(\displaystyle{ P_a}\).

Ponieważ \(\displaystyle{ b=\frac{b}{a}\cdot a}\), więc wielokąt zbudowany na boku \(\displaystyle{ b}\) jest podobny do tego z \(\displaystyle{ a}\) w skali \(\displaystyle{ \frac{b}{a}}\), zatem jego pole wynosi

\(\displaystyle{ P_b=P_a\cdot\left(\frac{b}{a}\right)^2}\).

Podobnie wyznacz \(\displaystyle{ P_c}\) i sprawdź, czy \(\displaystyle{ P_a+P_b=P_c}\).

[mac18]

Wyszło !
Sprytne z tym \(\displaystyle{ b=\frac{b}{a}\cdot a}\).
Dziękuję ślicznie Panie yorgin.