Mieszanka planimetryczna.

[mich12]

Hej, mam kilka zadań z którymi mam problem, z góry dzięki za pomoc

zad. 1.
W trapezie prostokątnym jedno z ramion ma długość \(\displaystyle{ 2 \sqrt{6}}\) i jest nachylone do podstawy pod kątem \(\displaystyle{ 15 ^{\circ}}\). W trapez ten wpisano okrąg. Oblicz promień okręgu i pole trapezu.

zad. 2.
Stosunek pola koła wpisanego w romb do pola tego rombu wynosi \(\displaystyle{ \frac{\pi}{8}}\). Cosinus kąta ostrego tego rombu jest równy.
A. \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)
B. \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
C. \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
D. \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

zad. 3.
Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny jest równy \(\displaystyle{ 200}\). Tangens jednego z jego kątów ostrych wynosi \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\). Oblicz odległość między wierzchołkiem kąta prostego a punktem styczności okręgu z przeciwprostokątną. Zakoduj cyfry: setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku.

[jarek4700]

Skoro dało się w niego wpisać okrąg to znaczy że suma długości podstaw jest równa sumie długości ramion. To się przyda do policzenia pola.
Zauważ że wysokość (jedno z ramion) jest równa \(\displaystyle{ 2\sqrt{6}\sin(15^{o})}\)
Jak masz wysokość to zauważ że jest to średnica okręgu.

[ikami]

Nie wiem czy jest prostszy sposób ale podaje ten który mi przyszedł teraz do głowy.
3.
Niech \(\displaystyle{ AB}\) będzie przeciwprostokątną w trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\), a punkty \(\displaystyle{ D,E,F}\) odpowiednio spodkiem wysokości poprowadzonej do odcinka \(\displaystyle{ AB}\), punktami styczności okręgu i boków \(\displaystyle{ AB,AC}\). Załóżmy, że tangens kąta \(\displaystyle{ BAC}\) jest równy \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\).

Wynika z tego, że \(\displaystyle{ AC=4x}\) i \(\displaystyle{ BC=3x}\). Po skorzystaniu z tw. Pitagorasa otrzymujemy \(\displaystyle{ AB=5x}\). Bierzemy inne twierdzenie: \(\displaystyle{ a+b=2R+2r}\) (jednocześnie \(\displaystyle{ 2R=c}\)). Po podstawieniu mamy \(\displaystyle{ 3x+4x=5x+400}\). Wyliczamy i wychodzi, że \(\displaystyle{ x=200}\).
Następnie liczymy \(\displaystyle{ CD}\) z porównania wzorów na pole. \(\displaystyle{ CD \cdot 1000=800 \cdot 600 \Rightarrow CD=480}\).
Stosujemy tw. Pitagorasa dla trójkąta \(\displaystyle{ ACD}\), \(\displaystyle{ AD=640}\)
\(\displaystyle{ CF=r=200 \Rightarrow AF=200}\). Z twierdzenia o odcinkach stycznych do okręgu \(\displaystyle{ AE=AF=200}\).
\(\displaystyle{ DE=AD-AE=440}\)
Pitagoras dla \(\displaystyle{ CDE}\), \(\displaystyle{ CE \approx 651}\)

Za ewentualne błędy rachunkowe nie biore odpowiedzialności bo o tej godzinie jestem już z lekka zmeczony

[Dilectus]

zad. 1.
W trapezie prostokątnym jedno z ramion ma długość \(\displaystyle{ 2 \sqrt{6}}\) i jest nachylone do podstawy pod kątem \(\displaystyle{ 15 ^{\circ}}\). W trapez ten wpisano okrąg. Oblicz promień okręgu i pole trapezu.

1. Narysuj trapez prostokątny \(\displaystyle{ ABCD}\), gdzie bok \(\displaystyle{ BC}\) jest nachylony pod kątem \(\displaystyle{ \alpha = 15^\circ}\)

2. Oznaczmy

\(\displaystyle{ \left| AB\right|=d, \quad \left|BC \right| =a= 2 \sqrt{6}, \quad CD= b, \quad AD=c}\)

W czworokąt można go wpisać wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych jego boków są równe, zatem

1. \(\displaystyle{ \quad a+c=b+d}\)

\(\displaystyle{ c=a\sin \alpha}\)

\(\displaystyle{ b+d=a\left( \sin \alpha +1\right) \Rightarrow d= a \left( \sin \alpha+1\right) -b}\)

Ale

\(\displaystyle{ d=b+a\cos \alpha}\)

Zatem równanie 1. przybierze postać

\(\displaystyle{ a\left( \sin \alpha +1\right) = 2b+ a \cos \alpha}\)

skąd

\(\displaystyle{ b= \frac{1}{2} a\left( \sin \alpha - cos \alpha+1\right)}\)

\(\displaystyle{ d= \frac{1}{2} a\left( \sin \alpha - cos \alpha+1\right)+a\cos\alpha= \frac{1}{2} a\left( \sin \alpha + cos \alpha +1\right)}\)

Pole trapezu

\(\displaystyle{ S= \frac{1}{2}bdc}\)

Promień okręgu wpisanego będzie równy połowie wysokości \(\displaystyle{ c}\) trapezu:

\(\displaystyle{ R= \frac{1}{2} c}\)

[mich12]

jarek4700, jak mam zamienić tego sinusa?

ikami, powinno wyjść \(\displaystyle{ 40 \sqrt{145}}\)

[jarek4700]

\(\displaystyle{ \sin(15^{o}) = \sin(45^{o}-30^{o}) = ...}\) wzór na sinus różnicy