Pięciokąt wypukły - dowód

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Rotgar10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 6 lut 2015, o 19:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Slaskie

Pięciokąt wypukły - dowód

Post autor: Rotgar10 »

Udowodnij, że w dowolnym pięciokącie wypukłym \(\displaystyle{ |AB|+|BC|+|CD|+|DE|+|EA| < |AC|+|BD|+|CE|+|DA|+|EB|}\)
Ostatnio zmieniony 6 lut 2015, o 20:22 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex]. Poprawa wiadomości.
jarek4700
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 939
Rejestracja: 26 gru 2009, o 17:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mazowsze
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 228 razy

Pięciokąt wypukły - dowód

Post autor: jarek4700 »

Z warunku trójkąta \(\displaystyle{ |AC| > |AB|}\). Podobnie \(\displaystyle{ |BD| > |BC|}\) i tak dalej.
Rotgar10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 6 lut 2015, o 19:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Slaskie

Pięciokąt wypukły - dowód

Post autor: Rotgar10 »

Ale z warunku trójkąta powinno być \(\displaystyle{ \left|AC \right| <\left|AB \right| +\left|BC \right|}\), a z tego mi nie wychodzi.
ikami
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 12 lis 2014, o 23:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wielkopolska

Pięciokąt wypukły - dowód

Post autor: ikami »

Figury wypukłe charakteryzują się tym, że ich kąty wewnętrzne mają miary \(\displaystyle{ \ge 90^{o}}\), więc prawdą jest to co napisał jarek4700.
jarek4700
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 939
Rejestracja: 26 gru 2009, o 17:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mazowsze
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 228 razy

Pięciokąt wypukły - dowód

Post autor: jarek4700 »

Też mi się tak zdawało, ale definicja wielokąta wypukłego jest jednak inna:
"taki wielokąt, że odcinek łączący dowolne dwa jego punkty zawiera się w tym wielokącie"

Zatem pięciokąt o kątach \(\displaystyle{ 90^{o},135^{0},135^{o},135^{o},45^{o}}\) jest wypukły.
Taki trapez prostokątny ze ściętym rogiem. To powoduje że cały dowód się sypie.

Ogólnie zadanie ma sporo wspólnego z problemem komiwojażera. Proponuję więc szukać dowodu pod rozwiązaniem tegoż problemu dla najprostszego przypadku (gdy wierzchołki grafu tworzą wielokąt wypukły). Zdaje się że wtedy właśnie najkrótsza ścieżka idzie po obwodzie wielokąta (i jest to lewa strona równania). Przy czym po prawej stronie masz inną ścieżkę, która też powoduje odwiedzenie każdego wierzchołka tylko raz. Z tego by wtedy wynikała prawdziwość tej nierówności.
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Pięciokąt wypukły - dowód

Post autor: norwimaj »

Porównaj obwód "gwiazdki" ograniczonej przez przekątne z obiema stronami dowodzonej nierówności.
Hydra147
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 268
Rejestracja: 31 mar 2013, o 20:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 82 razy

Pięciokąt wypukły - dowód

Post autor: Hydra147 »

Zmieńmy oznaczenia naszego pięciokąta z \(\displaystyle{ ABCDE}\) na \(\displaystyle{ A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}}\). Ponadto oznaczmy \(\displaystyle{ B_{i}= A_{i+1} A_{i+3} \cap A_{i+2} A_{i+4}}\) i przyjmijmy \(\displaystyle{ A_{i}=A _{i-5}}\), gdy \(\displaystyle{ i>5}\).Wówczas zachodzą nierówności:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{5}A_{i}A_{i+2}= \sum_{i=1}^{5} B_{i} A_{i+2} + B_{i} A_{i+3} + B_{i} B_{i+1} \ge \sum_{i=1}^{5} B_{i} A_{i+2} + B_{i} A_{i+3}> \sum_{i=1}^{5} A_{i}}\) c.n.d. Pierwsza nierówność powstaje oczywiście przez wyjęcie z sumy kilku dodatnich wyrazów, zaś druga to nierówność trójkąta. Jest ona ostra, ponieważ załóżmy np., że równość zachodzi w trójkącie \(\displaystyle{ B_{1} A_{3} A_{4}}\). Wówczas punkty te są współliniowe, ale przecież punkty \(\displaystyle{ A_{3}, B_{1} A_{5}}\) też są współliniowe czyli współliniowe są trzy kolejne wierzchołki pięciokąta, a tak być nie może.
ODPOWIEDZ