Pięciokąt wypukły - dowód
Pięciokąt wypukły - dowód
Udowodnij, że w dowolnym pięciokącie wypukłym \(\displaystyle{ |AB|+|BC|+|CD|+|DE|+|EA| < |AC|+|BD|+|CE|+|DA|+|EB|}\)
Ostatnio zmieniony 6 lut 2015, o 20:22 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex] . Poprawa wiadomości.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
Pięciokąt wypukły - dowód
Ale z warunku trójkąta powinno być \(\displaystyle{ \left|AC \right| <\left|AB \right| +\left|BC \right|}\), a z tego mi nie wychodzi.
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 12 lis 2014, o 23:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wielkopolska
Pięciokąt wypukły - dowód
Figury wypukłe charakteryzują się tym, że ich kąty wewnętrzne mają miary \(\displaystyle{ \ge 90^{o}}\), więc prawdą jest to co napisał jarek4700.
-
- Użytkownik
- Posty: 939
- Rejestracja: 26 gru 2009, o 17:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mazowsze
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 228 razy
Pięciokąt wypukły - dowód
Też mi się tak zdawało, ale definicja wielokąta wypukłego jest jednak inna:
"taki wielokąt, że odcinek łączący dowolne dwa jego punkty zawiera się w tym wielokącie"
Zatem pięciokąt o kątach \(\displaystyle{ 90^{o},135^{0},135^{o},135^{o},45^{o}}\) jest wypukły.
Taki trapez prostokątny ze ściętym rogiem. To powoduje że cały dowód się sypie.
Ogólnie zadanie ma sporo wspólnego z problemem komiwojażera. Proponuję więc szukać dowodu pod rozwiązaniem tegoż problemu dla najprostszego przypadku (gdy wierzchołki grafu tworzą wielokąt wypukły). Zdaje się że wtedy właśnie najkrótsza ścieżka idzie po obwodzie wielokąta (i jest to lewa strona równania). Przy czym po prawej stronie masz inną ścieżkę, która też powoduje odwiedzenie każdego wierzchołka tylko raz. Z tego by wtedy wynikała prawdziwość tej nierówności.
"taki wielokąt, że odcinek łączący dowolne dwa jego punkty zawiera się w tym wielokącie"
Zatem pięciokąt o kątach \(\displaystyle{ 90^{o},135^{0},135^{o},135^{o},45^{o}}\) jest wypukły.
Taki trapez prostokątny ze ściętym rogiem. To powoduje że cały dowód się sypie.
Ogólnie zadanie ma sporo wspólnego z problemem komiwojażera. Proponuję więc szukać dowodu pod rozwiązaniem tegoż problemu dla najprostszego przypadku (gdy wierzchołki grafu tworzą wielokąt wypukły). Zdaje się że wtedy właśnie najkrótsza ścieżka idzie po obwodzie wielokąta (i jest to lewa strona równania). Przy czym po prawej stronie masz inną ścieżkę, która też powoduje odwiedzenie każdego wierzchołka tylko raz. Z tego by wtedy wynikała prawdziwość tej nierówności.
-
- Użytkownik
- Posty: 268
- Rejestracja: 31 mar 2013, o 20:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 82 razy
Pięciokąt wypukły - dowód
Zmieńmy oznaczenia naszego pięciokąta z \(\displaystyle{ ABCDE}\) na \(\displaystyle{ A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}}\). Ponadto oznaczmy \(\displaystyle{ B_{i}= A_{i+1} A_{i+3} \cap A_{i+2} A_{i+4}}\) i przyjmijmy \(\displaystyle{ A_{i}=A _{i-5}}\), gdy \(\displaystyle{ i>5}\).Wówczas zachodzą nierówności:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{5}A_{i}A_{i+2}= \sum_{i=1}^{5} B_{i} A_{i+2} + B_{i} A_{i+3} + B_{i} B_{i+1} \ge \sum_{i=1}^{5} B_{i} A_{i+2} + B_{i} A_{i+3}> \sum_{i=1}^{5} A_{i}}\) c.n.d. Pierwsza nierówność powstaje oczywiście przez wyjęcie z sumy kilku dodatnich wyrazów, zaś druga to nierówność trójkąta. Jest ona ostra, ponieważ załóżmy np., że równość zachodzi w trójkącie \(\displaystyle{ B_{1} A_{3} A_{4}}\). Wówczas punkty te są współliniowe, ale przecież punkty \(\displaystyle{ A_{3}, B_{1} A_{5}}\) też są współliniowe czyli współliniowe są trzy kolejne wierzchołki pięciokąta, a tak być nie może.
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{5}A_{i}A_{i+2}= \sum_{i=1}^{5} B_{i} A_{i+2} + B_{i} A_{i+3} + B_{i} B_{i+1} \ge \sum_{i=1}^{5} B_{i} A_{i+2} + B_{i} A_{i+3}> \sum_{i=1}^{5} A_{i}}\) c.n.d. Pierwsza nierówność powstaje oczywiście przez wyjęcie z sumy kilku dodatnich wyrazów, zaś druga to nierówność trójkąta. Jest ona ostra, ponieważ załóżmy np., że równość zachodzi w trójkącie \(\displaystyle{ B_{1} A_{3} A_{4}}\). Wówczas punkty te są współliniowe, ale przecież punkty \(\displaystyle{ A_{3}, B_{1} A_{5}}\) też są współliniowe czyli współliniowe są trzy kolejne wierzchołki pięciokąta, a tak być nie może.