Twierdzenie Talesa.

[Kilus12]

1. Boki trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) mają długości : \(\displaystyle{ |AB|=36, |BC|=24}\) i \(\displaystyle{ |AC|=18}\). Przez wybrany na boku \(\displaystyle{ AC}\) punkt
D poprowadzono prostą równoległą do \(\displaystyle{ AB}\) przecinającą \(\displaystyle{ BC}\) bok w punkcie \(\displaystyle{ E}\). Oblicz długość odcinka \(\displaystyle{ DE}\) wiedząc że \(\displaystyle{ |AD|+|CE|=20}\).
2. W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ C}\) ma miarę \(\displaystyle{ 120}\) stopni, \(\displaystyle{ |AC|=b}\) i \(\displaystyle{ |BC|=a}\). Oblicz długość odcinka dwusiecznej \(\displaystyle{ CD}\) zawartego w trójkącie.

[buttonik]

Oznaczmy:
\(\displaystyle{ |AD|=d\\
|DC|=18-d\\
|CE|=e\\
e+d=20\\
|DE|=x}\)

Teraz z Talesa:
\(\displaystyle{ \frac{36}{18}=\frac{x}{18-d}}\)
I drugie:
\(\displaystyle{ \frac{x}{e}=\frac{36}{24}}\)
Wyliczasz z tego d i e
i postawiasz do \(\displaystyle{ e+d=20}\)
I wyjdzie szukany odcinek.

[Chewbacca97]

Zadanie 1. można i tak!
1. Oznaczmy:
\(\displaystyle{ |CD|=a, |DA|=b, |CE|=c, |EB|=d, |DE|=e, |AB|=f}\)
2. Z treści zadania masz:
\(\displaystyle{ \begin{cases}a+b=18 \\ c+d=24 \\ b+c=20 \end{cases}}\)
Bez trudu liczysz, że \(\displaystyle{ a+d=22}\)
3. Z Twierdzenia Talesa masz, że \(\displaystyle{ \frac{a}{b} = \frac{c}{d}}\). Wyznaczasz np. \(\displaystyle{ a= \frac{bc}{d}}\). Całość uzależniasz tylko od \(\displaystyle{ a}\).
4. Tutaj znowu skorzystasz z Twierdzenia Talesa: \(\displaystyle{ \frac{e}{f} = \frac{a}{a+b}}\).

W zadaniu 2. proponowałbym użyć Twierdzenia Cosinusów i zobaczyć co z tego wyniknie.

[bakala12]

Zadanie 2 można sprytniej, fajniej, ładniej i lepiej

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ B'}\) będzie obrazem punktu \(\displaystyle{ B}\) w obrocie o kąt \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\) wokół punktu \(\displaystyle{ C}\) w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Wówczas łatwo dostrzeżemy że \(\displaystyle{ CD \parallel BB'}\) oraz trójkąt \(\displaystyle{ \Delta BCB'}\) jest równoboczny. Stąd z podobieństwa trójkątów dostajemy za darmo:
\(\displaystyle{ \frac{b}{d}=\frac{a+b}{a}}\) gdzie \(\displaystyle{ d}\) jest szukaną długości dwusiecznej.
Teraz już banalne rachunki i wychodzi \(\displaystyle{ d=\frac{ab}{a+b}}\)