Trzy okręgi parami styczne, prosta

[Sasuke Uchiha]

Witam, zmagam się z takim zadaniem

Trzy okręgi o promieniach \(\displaystyle{ r_{1}, r_{2}, r_{3}}\) są parami styczne zewnętrznie i styczne do prostej \(\displaystyle{ l}\) . Wykaż, że

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{r _{3} } } = \frac{1}{ \sqrt{r _{1} } } +\frac{1}{ \sqrt{r _{2} } }}\)

Z góry dziękuję za pomóc w rozwiązaniu zadania.

[szachimat]

Sporo pisania, ale trudno (zrób krok po kroku rysunek i oznaczenia jak moje, abyśmy się zrozumieli)
1) Narysuj prostą poziomą (l), a nad nią po lewej stronie okrąg mniejszy (promień \(\displaystyle{ r_2}\)) i po prawej okrąg większy (promień \(\displaystyle{ r_1}\)) tak aby były zewnętrznie styczne oraz styczne do prostej \(\displaystyle{ l}\)
2) W środku między narysowanymi okręgami i prostą l "wciśnij" najmniejszy okrąg (promień \(\displaystyle{ r_3}\)) styczny do prostej i okręgów
3) Połącz środki najmniejszego i średniego okręgu - będzie to przeciwprostokątna pewnego trójkąta (jej długość to \(\displaystyle{ r_2+r_3}\)). Narysuj ten trójkąt (przyprostokątne poziomą (jej dł. oznaczmy jako \(\displaystyle{ x}\)) i pionową (jej dł. to \(\displaystyle{ r_2-r_3}\)) poniżej narysowanej przeciwprostokątnej)
4) Zastosuj tw. Pitagorasa dla tego trójkąta
\(\displaystyle{ (r_2+r_3)^{2}=(r_2-r_3)^{2}+x^{2}}\)
Po uporządkowaniu mamy:
(*) \(\displaystyle{ x^{2}=4r_2r_3}\)
5) Stosując podobne rozumowanie dla najmniejszego i największego okręgu otrzymamy analogicznie:
(**) \(\displaystyle{ y^{2}=4r_1r_3}\)
6) Analogicznie dla średniego i największego okręgu:
(***) \(\displaystyle{ 4r_1r_2=(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy}\)

7) Podstawiając (*) i (**) do (***) mamy:
\(\displaystyle{ 4r_1r_2=4r_2r_3+4r_1r_3+2xy}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ x=2 \sqrt{r_2r_3}}\), \(\displaystyle{ y=2 \sqrt{r_1r_3}}\) mamy dalej
\(\displaystyle{ 4r_1r_2=4r_2r_3+4r_1r_3+8 \sqrt{r_2r_3} \sqrt{r_1r_3}}\) (dzielimy przez \(\displaystyle{ 4}\))
\(\displaystyle{ r_1r_2=r_2r_3+r_1r_3+2 \sqrt{r_2r_3} \sqrt{r_1r_3}}\), co można zapisać jako:
\(\displaystyle{ ( \sqrt{r_1r_2})^{2}=( \sqrt{r_2r_3}+ \sqrt{r_1r_3})^{2}}\)

Porównując środki nawiasów i rozbijając każdy pierwiastek na dwa mamy dalej:
\(\displaystyle{ \sqrt{r_1} \sqrt{r_2}= \sqrt{r_2} \sqrt{r_3}+ \sqrt{r_1} \sqrt{r_3}}\) - dzielimy wszystko przez \(\displaystyle{ \sqrt{r_1} \sqrt{r_2} \sqrt{r_3}}\) i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{r_3} }= \frac{1}{ \sqrt{r_1} } + \frac{1}{ \sqrt{r_2} }}\)

UFF - najgorsze te znaczki do zapisania, a możnaby je zapisać bardziej fachowo.
No właśnie, możnaby zapisać je poprawnie. Ponewor
Mam nadzieję, że zrozumiesz cały dowód.