Trójkąt opisany na okręgu i twierdzenie sinusów

[matematykiv]

Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) o bokach \(\displaystyle{ |AC| = 6}\) i \(\displaystyle{ |BC| = 3 \sqrt{2}}\). Na boku \(\displaystyle{ AC}\) tego trójkąta obrano punkt \(\displaystyle{ D}\), a na boku \(\displaystyle{ BC}\) - punkt \(\displaystyle{ E}\) tak, że kąt \(\displaystyle{ CDE = 30}\) i kąt \(\displaystyle{ DEC = 45}\) oraz promień okręgu opisanego na trójkącie CDE jest równy \(\displaystyle{ 2 \sqrt{2}}\). Wykaż, że odcinki \(\displaystyle{ DE}\) i \(\displaystyle{ AB}\) są równoległe.

Mam problem z tym zadaniem. Mój pomysł na nie był taki, że jeśli trójkąty \(\displaystyle{ DEC}\) i \(\displaystyle{ ABC}\) będą podobne i spełnione będą warunki: \(\displaystyle{ |DC| \in |AC|}\) oraz \(\displaystyle{ |EC| \in |BC|}\) to \(\displaystyle{ |DE|}\) będzie równoległy do \(\displaystyle{ |AB|}\)

Aby to udowodnić chciałem skorzystać z twierdzenia siusów, dla kąta \(\displaystyle{ CAB}\) będzie to \(\displaystyle{ \frac{3 \sqrt{2}}{\sin \alpha } = 2R}\) czyli sin \(\displaystyle{ \alpha = \frac{3}{4}}\) czyli alfa to jakieś 49 stopnii a powinno być 30. Co robię źle?

[macik1423]

Promień \(\displaystyle{ R}\) jest promieniem okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ CDE}\), a nie \(\displaystyle{ ABC}\), dlatego miarę kąta przy wierzchołku \(\displaystyle{ A}\) tak nie policzysz.

[szachimat]

Z tw. sinusów wyliczasz dł. boków \(\displaystyle{ |CD|=4}\) i \(\displaystyle{ |CE|=2 \sqrt{2}}\) , czyli:
\(\displaystyle{ \frac{|CD|}{|CA|} = \frac{|CE|}{|CB|} = \frac{2}{3}}\)
Na podstawie III cechy podobieństwa trójkątów: "Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta, a kąty między nimi zawarte są przystające, to trójkąty są podobne", stwierdzamy, że trójkąty \(\displaystyle{ CDE}\) i \(\displaystyle{ CAB}\) są podobne (bo mają taki sam kąt), a zatem kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ A}\) ma miarę \(\displaystyle{ 30^{\circ}}\) a przy wierzchołku \(\displaystyle{ B}\) \(\displaystyle{ 45^{o}}\) , czyli proste \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ DE}\) są równoległe.

[matematykiv]

Z tw. sinusów wyliczasz dł. boków |CD|=4 i |CE|=2\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), czyli:
\(\displaystyle{ \frac{|CD|}{|CA|}}\) = \(\displaystyle{ \frac{|CE|}{|CB|}}\) = \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)
Na podstawie III cechy podobieństwa trójkątów: "Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta, a kąty między nimi zawarte są przystające, to trójkąty są podobne", stwierdzamy, że trójkąty CDE i CAB są podobne (bo mają taki sam kąt), a zatem kąt przy wierzchołku A ma miarę \(\displaystyle{ 30^{o}}\) a przy wierzchołku B \(\displaystyle{ 45^{o}}\), czyli proste AB i DE są równoległe.

Nigdy nie słyszałem o takiej cesze. To na pewno jest dobrze wyjaśnione i max punktów na maturze?

[szachimat]

To może wolisz inaczej:

Twierdzenie Talesa:
Jeżeli ramiona kąta przecięte są prostymi równoległymi to stosunek długości którychkolwiek dwóch odcinków utworzonych na jednym ramieniu jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków utworzonych na drugim ramieniu.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa (które jest również prawdziwe):
Jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi i odcinki utworzone na jednym z tych ramion są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu to dwie proste są równoległe.