Wykaż, że najmniejszy opisany na okręgu czworokąt to kwa

[scn]

Wykaż, że spośród czworokątów opisanych na okręgach o promieniu ,, r ' najmniejszy obwód ma kwadrat.

[W_Zygmunt]

Zadanie wydaje się proste, ale

obwód czworokąta jest równy
2*a+2*b+2*c+2*d.

\(\displaystyle{ \frac{a}{r} =\tan{\frac{\alpha}{2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{b}{r} =\tan{\frac{\beta-\alpha}{2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{c}{r} =\tan{\frac{\gamma-\beta}{2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{d}{r} =\tan{\frac{360^0-\gamma}{2}}}\)
Zmieniając \(\displaystyle{ \alpha,\, \beta\, i\, \gamma}\) ( w odpowiednich granicach)
możemy uzyskać wszystkie czworokąty opisane.
\(\displaystyle{ \2*a+2*b+2*c+2*d\,=\, 2*r*({tan{\frac{\alpha}{2}}+\tan{({\frac{\beta}{2}-\frac{\alpha}{2})}+\tan{({\frac{\gamma}{2}-\frac{\beta}{2})}+\tan{({\frac{180^o}{2}-\frac{\gamma}{2}}})}\)
Stosując wzór na \(\displaystyle{ \tan(\alpha-\beta)}\) i podstawiając
\(\displaystyle{ x=\tan{\frac{\alpha}{2}}}\)
\(\displaystyle{ y=\tan{\frac{\beta}{2}}}\)
\(\displaystyle{ z=\tan{\frac{\gamma}{2}}}\)
ptrzymamy funkcję

\(\displaystyle{ F(x,y,z) = 2*r*({x+\frac{y-x}{1+x*y}+\frac{z-y}{1+y*z}-z})= 2*r*(\frac{y[x(yz-1)-y-z](x-z)}{(xy+1)(yz+1)})}\)
I teraz już tylko trzeba znaleźć ekstremum tej funkcji.

Nam nadzieję, że nie pomyliłem się w przekształceniach.
A moze ktoś będzie miał inne spojrzenie na to zadanie?

[bisz]

zygmuncie takie pytanie offtopic, jakim programem smarujesz te rysuneczki ? = ]

[scn]

A czy ktoś mogłby to prościej wytłumaczyć bo nie rozumiem !!

[W_Zygmunt]

Mimo zachęty z mojej strony, nikt się nie kwapi do przedstawienia innego rozwiązania.
To nie znaczy, że się nie da inaczej, ale nie widzę rozwiązania "na poziomie szkoły średniej".
Jak widzisz, są tu trzy zmienne niezależne i nie da się tego ominąć. Popatrz: jak zmienimy np. kąt beta, to zmieni się wartość "b" i "c". ale nie ma to wpływy na kąt alfa i gamma, oraz na "a" i "d". Mówi się czasami, że są to trzy stopnie swobody.
Ciekawi mnie skąd masz to zadanie?

[brolly]

a wiedzac ze sposrod wszystkich czworokatow kwadrat ma najlepszy stosunek pola do obwodu w sensie najmniejszemu obwodowi przypada najwieksze pole nie mozna wysnuc jakiegos wniosku ?:P no wiem ze to mocno naciagane ale nic innego mi nie przychodzi do glowy bo wiadomo ze kwadrat ma obwod 8r teraz wypadaloby udowodnic ze a+b+c+d w dowolonym czworokacie >= 8r ale jak to pomyslu nie posiadam