2 zadania

[p2000]

1) w trapezie o podstawach a i b przeprowadzono odcinek równoległy do podstawy, dzielący pole trapezu na polowy. znajdź dlugość tego odcinka.

2) wiedząc, ze α,β,ε są miarami kątów wewnętrznych trójkąta, wykaż, że jeśli sin�α+sin�β+sin�ε=2 to trójkąt jest prostokątny.

z góry dzięki za pomoc.

[Jopekk]

2. Wiadomo, że jeden kąt ma miarę \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)

Zatem \(\displaystyle{ (\sin\alpha)^{2}+(\sin\beta)^{2}=1}\)
\(\displaystyle{ \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}}\)
Czyli \(\displaystyle{ \sin\alpha\sin\alpha+1-(\cos\beta)^{2}=1}\)
Zatem \(\displaystyle{ \sin\alpha\sin\alpha-cos\beta\cos\beta=0}\)
Co można zapisać jako\(\displaystyle{ -\cos(\alpha+\beta)=0}\), co przy założeniu, że
\(\displaystyle{ \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}}\) stanowi równość prawdziwą.

\(\displaystyle{ \sin\alpha\sin\alpha-cos\beta\cos\beta=0}\)

Można jeszcze rozpisać jako:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta))-\frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=-cos(\alpha+\beta)=-1 0=0}\)

[Lady Tilly]

1)
szukany odcinek to srednia kwadratowa

AU

5c31d49d34b7c15b.jpg (4.33 KiB) Przejrzano 117 razy

\(\displaystyle{ x=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}\)

[p2000]

na sprawdzianie rozwiazalem to w ten sam sposob i w odpowiedzi dostalem komentarz: "korzystasz z tezy, 0/5pkt"

[Lady Tilly]

\(\displaystyle{ \frac{S}{2}=\frac{a+x}{2}{\cdot}h_{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{S}{2}=\frac{b+x}{2}{\cdot}h_{1}}\)
\(\displaystyle{ S=\frac{a+b}{2}(h_{1}+h_{2})=\frac{a+b}{2}(\frac{S}{a+x}+\frac{S}{b+x})=\frac{S(a+b)}{2}{\cdot}\frac{b+x+a+x}{(a+x)(b+x)}=}\) \(\displaystyle{ =S\frac{(a+b)^{2}+2x(a+b)}{2ab+2x^{2}+2x(a+b)}}\)
\(\displaystyle{ 2ab+2x^{2}=(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}\)

[Jopekk]

Korzystanie z tezy odnosi się do stwierdzenia, że w trójkącie prostokątnym jeden z kątów ma miarę \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)?

[ariadna]

Jopekk, masz pokazać, że to trójkąt prostokątny, a nie wychodzić z takiego założenia.

[Jopekk]

To sobie strzelamy trójkąta w paintcie:


i \(\displaystyle{ (sin\beta)^{2}=\frac{a^{2}}{c^{2}}}\)
\(\displaystyle{ (sin\gamma)^{2}=\frac{b^{2}}{c^{2}}}\)

Wstawiamy i wychodzi: \(\displaystyle{ \frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}+(\sin\alpha)^{2}=2}\)
Czyli \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}=(2-(\sin\alpha)^{2})c^{2}}\)
i \(\displaystyle{ (\sin\alpha}^{2}=1}\), czyli \(\displaystyle{ \alpha=\frac{\pi}{2}}\).

[ariadna]

W dowolnym trókącie nie można tak definiować sinusów.

[Jopekk]

\(\displaystyle{ \alpha=\frac{\pi}{2}}\)

Trzecim sposobem, chyba najlepszym jeśli chodzi o podejście Ariadny do całej sprawy, jest zabawa z tw. sinusów. Oczywiście strzelamy trójkąta:

Z tw. sinusów otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sin^{2}\alpha=\frac{sin^{2}\beta a^{2}}{b^2}}\)
\(\displaystyle{ \sin^{2}\gamma=\frac{sin^{2}\beta c^{2}}{b^2}}\)
\(\displaystyle{ \sin^{2}\beta=\frac{sin^{2}\beta b^{2}}{b^2}}\)

Dodając powyższe i dzieląc przez \(\displaystyle{ sin^{2}\beta}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma}{\sin^{2}\beta}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{b^{2}}.}\)

Co po przyrównaniu do dwóch daje nam \(\displaystyle{ \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{b^{2}}=2}\) czyli \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2}=2b^{2}}\), czyli \(\displaystyle{ a^{2}+c^{2}=b^{2}}\), c.n.u.

[ariadna]

Trzecim sposobem, chyba najlepszym jeśli chodzi o podejście Ariadny do całej sprawy

Przepraszam, ale nie rozumiem do czego zmierzasz?

To nie jest moje podejście, ale poprawne podejście.
Nie można ani wyjść od faktu, że jeden kąt jest prosty, ani tak definiować sinusów ja dwa posty temu to zrobiłeś.

Ta wersja jest jak dla mnie ok, prawie, gdzieś po drodze gubi się sin�β

[Jopekk]

Ale ta wersja, nie jest okej w sumie. Trzebaby zaznaczyć, że to jest trójkąt prostokątny tylko i tylko wtedy, gdy dzieląc przez \(\displaystyle{ \sin\beta}\) dzielimy przez jeden, czyli \(\displaystyle{ \beta=\frac{\pi}{2}}\).