Rozwiązałem pewne zadanie i moje odpowiedzi nie pokrywają się z tymi w książce, ani w internecie, mimo że nie jestem w stanie znaleźć błędu rachunkowego, ani logicznego w mojej metodzie. Aby uniknąć popełnienia podobnego błędu (który na pewno, gdzieś tu jest) prosiłbym o pomoc i wskazanie owego. Z góry dziękuje za pomoc
Treść: Dwa okręgi o środkach \(\displaystyle{ S_{1}}\) i \(\displaystyle{ S_{2}}\) przecinają się w punktach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), przy czym punkty \(\displaystyle{ S_{1}}\) i \(\displaystyle{ S_{2}}\) leżą po przeciwnych stronach prostej \(\displaystyle{ AB}\). Miary kątów \(\displaystyle{ AS_{1}B}\) i \(\displaystyle{ AS_{2}B}\) wynoszą odpowiednio \(\displaystyle{ 90^\circ}\) i \(\displaystyle{ 60^\circ}\). Wyznacz długości promieni tych okręgów wiedząc, że \(\displaystyle{ |S_{1}S_{2}|=a}\).
Rysunek pomocniczy do rozwiązania:
- AU
- 2jbwr2o.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 59 razy
Rozwiązuje na trójkącie \(\displaystyle{ S_{1}AS_{2}}\)
\(\displaystyle{ r_{2} \cdot sin30 = r_{1} \cdot sin45}\)
\(\displaystyle{ r_{2} \cdot \frac{1}{2} = r_{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ r_{2} = \sqrt{2} \cdot r_{1}}\)
Z tw. cosinusów:
\(\displaystyle{ (|S_{1}S_{2}|)^2 = r_{1}^2 + r_{2}^2 - 2 \cdot r_{1} \cdot r_{2} \cdot cos105}\)
Tu podstawiam \(\displaystyle{ \sqrt{2} \cdot r_{1}}\) za \(\displaystyle{ r_{2}}\) oraz \(\displaystyle{ a}\) za \(\displaystyle{ |S_{1}S_{2}|}\) oraz będę zapisywał przez chwilę \(\displaystyle{ r_{1}}\) jako \(\displaystyle{ r}\) dla wygody.
\(\displaystyle{ a^2 = 2r^2 + r - 2 \sqrt{2}r^2cos105}\)
\(\displaystyle{ a^2 = r^2 ( 3 - 2 \sqrt{2}cos105 )}\)
Wyliczam wartość \(\displaystyle{ cos105}\)
\(\displaystyle{ cos105 = cos(45 + 60) = cos60cos45 - sin60sin45 = \frac{1}{2} \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2} \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} = - \frac{ \sqrt{3}-1 }{2 \sqrt{2} }}\)
Podstawiam:
\(\displaystyle{ a^2 = r^2 ( 3 - 2 \sqrt{2} \cdot - \frac{ \sqrt{3}-1 }{2 \sqrt{2} } )}\)
\(\displaystyle{ a^2 = r^2 ( 3 + \sqrt{3}-1}\)
\(\displaystyle{ r_{1} = \frac{a}{ \sqrt{2 + \sqrt{3}} }}\)
\(\displaystyle{ r_{2} = a \cdot \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2 + \sqrt{3}} }=a \cdot \sqrt{ \frac{2}{2+ \sqrt{3} } } = a \sqrt{4-2 \sqrt{3} }}\)
Powyższe wartości to moje rozwiązanie, kiedy tak naprawdę powinno być:
\(\displaystyle{ a( \sqrt{3}-1), \frac{1}{2}a( \sqrt{6} - \sqrt{2})}\)
Byłbym niesamowicie wdzięczny za pomoc
