Twierdzenie Talesa

[isio05]

Cześć,

Robię dwa zadania w których mam do wykorzystania twierdzenie Talesa...

1. W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) dwusieczna kąta \(\displaystyle{ ACB}\) przecina bok \(\displaystyle{ AB}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ \frac{\left| AC\right| }{\left| BC\right| }= \frac{\left| AD\right| }{\left| DB\right| }}\)

Wymyśliłem, żeby sobie dorysować w obrębie tego trójkąta prostą równoległą do boku \(\displaystyle{ AB}\) i z pomocą przekształceń udowodnić równość... Jednak: a) kręcę się w kółko z kolejnymi równościami i nic za bardzo z tego nie wynika b) nie wiem czy nie za bardzo kombinuje wprowadzanie drugiego odcinka mocno komplikuje sprawę...

2.W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) obrano dowolny punkt \(\displaystyle{ P}\). Prosta \(\displaystyle{ AP}\) przecina bok \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ M}\), prosta \(\displaystyle{ PB}\) przecina bok \(\displaystyle{ AC}\) w punkcie \(\displaystyle{ Z}\), prosta \(\displaystyle{ CP}\) przecina bok \(\displaystyle{ AB}\) w punkcie \(\displaystyle{ R}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ \frac{\left| AR\right| }{\left| RB\right| } \cdot \frac{\left| BM\right| }{\left| MC\right| } \cdot \frac{\left| CZ\right| }{\left| AZ\right| }=1}\)

W sumie ten sam problem co pierwszym, można ułożyć tyle równań, że nie za bardzo wiem od czego zacząć.

[Ania221]

1.
Przedłuż bok \(\displaystyle{ AC}\) i dorysuj prostą \(\displaystyle{ BE}\) rownolegle \(\displaystyle{ DC}\)
Wykaż, że \(\displaystyle{ DC=CE}\) i skorzystaj z Talesa.

[isio05]

Dobrze, tylko wtedy tracimy z twierdzenia Talesa prostą \(\displaystyle{ BC}\), bo równoległe przecinające kąt \(\displaystyle{ ACB}\) to \(\displaystyle{ DC}\) i \(\displaystyle{ EB}\)

[Ania221]

Aj...bo powinno być \(\displaystyle{ BC=CE}\)

[isio05]

Ok, dzięki, pierwsze faktycznie nie było takie straszne...

Mogę liczyć na pomoc z drugim zadaniem?

[Ponewor]

Tak. Poprowadź przez \(\displaystyle{ A}\) prostą równoległą do \(\displaystyle{ BC}\).