Odcinki, będące średnicami okręgu

[kopycinskiadrian]

odcinki \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) są średnicami pewnego okręgu \(\displaystyle{ o (O,r)}\). Ponadto \(\displaystyle{ M}\) jest dowolnym punktem tego okręgu, a \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) jego rzutami prostokątnymi na \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\). Wykaż,że długość odcinka \(\displaystyle{ PQ}\) nie zależy od wyboru punktu \(\displaystyle{ M}\).

[Ania221]

Na czworokącie \(\displaystyle{ MPOQ}\) można opisać okrąg o promieniu \(\displaystyle{ \frac{r}{2}}\)
Ten okrąg jest też opisany na trójkącie \(\displaystyle{ MPQ}\)
Kąt \(\displaystyle{ PMQ}\) jest stały niezależnie od wyboru punktu \(\displaystyle{ M}\)
\(\displaystyle{ \frac{PQ}{\sin\alpha} =2 \cdot \frac{r}{2}}\)