Z koła o promieniu 6\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) wycięto trójkąt równoboczny wpisany w to koło.
Oblicz pole powierzchni pozostałej części koła.
Pole powierzhni pozostałej częsci koła
-
szw1710
Pole powierzhni pozostałej częsci koła
Środek koła dzieli trójkąt na trzy przystające trójkąty równoramienne. Łatwo policzyć pole jednego z nich.
To jedna z możliwości rozwiązania zadania. Inna to twierdzenie sinusów. Wyznaczysz z niego bok trójkąta.
To jedna z możliwości rozwiązania zadania. Inna to twierdzenie sinusów. Wyznaczysz z niego bok trójkąta.
-
Dilectus
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Pole powierzhni pozostałej częsci koła
A może tak:
Znajdźmy długość boku \(\displaystyle{ a}\) trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg o promieniu \(\displaystyle{ r}\).
Środek tego okręgu wypada w punkcie przecięcia symetralnych boków, które w trójkącie równobocznym są jednocześnie dwusiecznymi kątów, środkowymi, a także wysokościami \(\displaystyle{ h}\). Jeśli tak, to punkt ich przecięcia dzieli te wysokości w stosunku \(\displaystyle{ \frac{2}{1}}\). Innymi słowy wysokości w trójkącie równobocznym przecinają się w swojej jednej trzeciej. Mamy zatem oczywisty związek promienia okręgu z wysokością \(\displaystyle{ h}\) tego trójkąta, a więc i z jego bokiem \(\displaystyle{ a}\):
\(\displaystyle{ r= \frac{2}{3}h}\)
\(\displaystyle{ h=a \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
skąd
\(\displaystyle{ r=a \frac{ \sqrt{3} }{3}}\)
Pole trójkąta:
\(\displaystyle{ S _{tr}= \frac{1}{2}ah= \frac{1}{2}a\cdot a \frac{ \sqrt{3} }{2}=a^2 \frac{ \sqrt{3} }{4}}\)
Pole koła:
\(\displaystyle{ S _{k} = \pi r^2= \frac{1}{3}\pi a^2}\)
Pole pozostałej części koła:
\(\displaystyle{ S=S _{k}-S _{tr} = ......}\)
-- 18 sty 2015, o 23:43 --
Ech... Przez pomyłkę przedstawiłem to pole jako funkcję boku trójkąta, a trzeba by je przedstawić jako funkcję promienia koła. Ale masz związek między \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ r}\), więc pozamieniaj...
-- 18 sty 2015, o 23:52 --Jak wszystko popodstawiasz to wychodzi
\(\displaystyle{ S=108\pi- \frac{3 \sqrt{3} }{4}}\)
Chyba, że się gdzieś rąbnąłem...
Znajdźmy długość boku \(\displaystyle{ a}\) trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg o promieniu \(\displaystyle{ r}\).
Środek tego okręgu wypada w punkcie przecięcia symetralnych boków, które w trójkącie równobocznym są jednocześnie dwusiecznymi kątów, środkowymi, a także wysokościami \(\displaystyle{ h}\). Jeśli tak, to punkt ich przecięcia dzieli te wysokości w stosunku \(\displaystyle{ \frac{2}{1}}\). Innymi słowy wysokości w trójkącie równobocznym przecinają się w swojej jednej trzeciej. Mamy zatem oczywisty związek promienia okręgu z wysokością \(\displaystyle{ h}\) tego trójkąta, a więc i z jego bokiem \(\displaystyle{ a}\):
\(\displaystyle{ r= \frac{2}{3}h}\)
\(\displaystyle{ h=a \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
skąd
\(\displaystyle{ r=a \frac{ \sqrt{3} }{3}}\)
Pole trójkąta:
\(\displaystyle{ S _{tr}= \frac{1}{2}ah= \frac{1}{2}a\cdot a \frac{ \sqrt{3} }{2}=a^2 \frac{ \sqrt{3} }{4}}\)
Pole koła:
\(\displaystyle{ S _{k} = \pi r^2= \frac{1}{3}\pi a^2}\)
Pole pozostałej części koła:
\(\displaystyle{ S=S _{k}-S _{tr} = ......}\)
-- 18 sty 2015, o 23:43 --
Ech... Przez pomyłkę przedstawiłem to pole jako funkcję boku trójkąta, a trzeba by je przedstawić jako funkcję promienia koła. Ale masz związek między \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ r}\), więc pozamieniaj...
-- 18 sty 2015, o 23:52 --Jak wszystko popodstawiasz to wychodzi
\(\displaystyle{ S=108\pi- \frac{3 \sqrt{3} }{4}}\)
Chyba, że się gdzieś rąbnąłem...