Równoległobok/czworokąt

[rfyzs]

Mam udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) są przekątnymi pewnego czworokąta, a \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) to jego boki i \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2+d^2=k^2+l^2}\), to ten czworokąt jest równoległobokiem.
Próbowałem z tw. cosinusów i doszedłem do: \(\displaystyle{ abcos\alpha_1+cbcos\alpha_2+cdcos\alpha_3+adcos\alpha_4=0}\)
Nie mam pomysłu jak mógłbym to dalej pociągnąć.

[timon92]

można pokazać, że dla dowolnego czworokąta o bokach \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) i przekątnych \(\displaystyle{ k,l}\) zachodzi \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2+d^2=k^2+l^2+4x^2}\) gdzie \(\displaystyle{ x}\) to długość odcinka łączącego środki przekątnych

[Dilectus]

W rombie przekątne przecinają się pod kątem prostym i dzielą się wzajemnie na połowy. Kombinuj w tym kierunku. Wiesz - trójkąty prostokątne, Pitagoras itd.



-- 17 sty 2015, o 19:26 --

Czyli

\(\displaystyle{ a^2= \left( \frac{l}{2}\right)^2+\left( \frac{k}{2}\right)^2}\)

\(\displaystyle{ b^2= \left( \frac{l}{2}\right)^2+\left( \frac{k}{2}\right)^2}\)

\(\displaystyle{ a^2= \left( \frac{l}{2}\right)^2+\left( \frac{k}{2}\right)^2}\)

\(\displaystyle{ d^2= \left( \frac{l}{2}\right)^2+\left( \frac{k}{2}\right)^2}\)

Dodaj te równania stronami i masz wynik...

[rfyzs]

Kompletnie nie wiem co to mi daje. Mam to udowodnić w druga stronę w dodatku dla równoległoboku.

[Dilectus]

Mam udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) są przekątnymi pewnego czworokąta, a \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) to jego boki i \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2+d^2=k^2+l^2}\), to ten czworokąt jest równoległobokiem.
[...]
Nie mam pomysłu jak mógłbym to dalej pociągnąć.

Przeczytaj mój poprzedni wpis.
Jak dodasz to stronami, to pokażesz, że mowa jest o rombie, bo tylko romb ma takie własności, a więc jeśli boki \(\displaystyle{ a, \ b, \ c, \ d}\) i przekątne \(\displaystyle{ k, \ l}\) czworokąta spełniają warunek

\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2+d^2=k^2+l^2}\),

to ten czworokąt jest rombem.

-- 17 sty 2015, o 20:01 --a romb jest równoległobokiem.

[timon92]

Dilectus, pokażesz w ten sposób, że romb spełnia tę równość z zadania, ale to wcale nie oznacza, że ta równość nie zachodzi dla równoległoboków (tak się składa, że zachodzi)

[rfyzs]

Dalej nie widzę tutaj wyjścia z założenia. W drugą stronę to nawet ja potrafię to udowodnić.-- 17 sty 2015, o 20:14 --

można pokazać, że dla dowolnego czworokąta o bokach \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) i przekątnych \(\displaystyle{ k,l}\) zachodzi \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2+d^2=k^2+l^2+4x^2}\) gdzie \(\displaystyle{ x}\) to długość odcinka łączącego środki przekątnych

To też jest dla mnie zbyt duży problem. Jakieś podpowiedzi?

[timon92]

to można pokazać korzystając właśnie z tej własności dla równoległoboków

wprowadźmy oznaczenia: niech \(\displaystyle{ ABCD}\) będzie czworokątem, niech \(\displaystyle{ E,F,G,H,I,J}\) będą środkami \(\displaystyle{ AB, BC, CD, DA, AC, BD}\)

wtedy \(\displaystyle{ EFGH, EIGJ, FIHJ}\) są równoległobokami

czyli np. patrząc na równoległobok \(\displaystyle{ EFGH}\) dostaniemy, że \(\displaystyle{ EF^2+FG^2+GH^2+HE^2=EG^2+FH^2}\) czyli korzystając z tego, że \(\displaystyle{ EF=\frac 12 AC = GH}\) i \(\displaystyle{ FG = \frac 12 BD = HE}\) dostaniemy \(\displaystyle{ AC^2+BD^2 = 2EG^2 + 2FH^2}\)

dalej sam kombinuj