Dowód wzoru na sumę miar kątów wielokąta wklęsłego
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 5 sty 2013, o 21:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Dowód wzoru na sumę miar kątów wielokąta wklęsłego
Witam,
szukam dowodu na fakt, że suma miar kątów dowolnego n-kąta wklęsłego wynosi \(\displaystyle{ (n-2) \pi}\) . Proszę o pomoc.
szukam dowodu na fakt, że suma miar kątów dowolnego n-kąta wklęsłego wynosi \(\displaystyle{ (n-2) \pi}\) . Proszę o pomoc.
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Dowód wzoru na sumę miar kątów wielokąta wklęsłego
Wystarczy udowodnić, że suma miar kątów dowolnego \(\displaystyle{ n}\)-kąta jest równa \(\displaystyle{ (n-2) \pi,}\) a to już można przez indukcję.
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 5 sty 2013, o 21:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Dowód wzoru na sumę miar kątów wielokąta wklęsłego
Tak, przypadek wypukły jest prosty, ale co z wklęsłym?
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 5 sty 2013, o 21:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Dowód wzoru na sumę miar kątów wielokąta wklęsłego
W wykazaniu, że w wielokącie wklęsłym zawsze istnieje przekątna w całości do niego należąca.
- Michalinho
- Użytkownik
- Posty: 495
- Rejestracja: 17 wrz 2013, o 16:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Chełm
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 104 razy
Dowód wzoru na sumę miar kątów wielokąta wklęsłego
Wybierzmy sobie dowolny wierzchołek \(\displaystyle{ A_i}\). Poprowadźmy wszystkie półproste zawarte w kącie wewnętrznym \(\displaystyle{ A_{i-1} A_i A_{i+1}}\). Każda z tych półprostych ma co najmniej jeden punkt wspólny z bokami wielokąta. Dla każdej półprostej wybieramy ten, który jest najbliżej \(\displaystyle{ A_i}\). Mamy dwa przypadki:
I. Jeden z tych punktów jest pewnym wierzchołkiem powiedzmy \(\displaystyle{ A_k}\). Wtedy \(\displaystyle{ A_k A_i}\) jest szukaną przekątną.
II. Żaden z punktów nie jest wierzchołkiem, czyli wszystkie są punktami jednego boku, więc \(\displaystyle{ A_{i-1} A_i A_{i+1}}\) jest wypukły. Wtedy \(\displaystyle{ A_{i-1} A_{i+1}}\) jest szukaną przekątną.
I. Jeden z tych punktów jest pewnym wierzchołkiem powiedzmy \(\displaystyle{ A_k}\). Wtedy \(\displaystyle{ A_k A_i}\) jest szukaną przekątną.
II. Żaden z punktów nie jest wierzchołkiem, czyli wszystkie są punktami jednego boku, więc \(\displaystyle{ A_{i-1} A_i A_{i+1}}\) jest wypukły. Wtedy \(\displaystyle{ A_{i-1} A_{i+1}}\) jest szukaną przekątną.
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 5 sty 2013, o 21:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Dowód wzoru na sumę miar kątów wielokąta wklęsłego
Ale wtedy nie mamy pewności, że ta przekątna leży w całości w wielokącie.Michalinho pisze: I. Jeden z tych punktów jest pewnym wierzchołkiem powiedzmy \(\displaystyle{ A_k}\). Wtedy \(\displaystyle{ A_k A_i}\) jest szukaną przekątną.
- Michalinho
- Użytkownik
- Posty: 495
- Rejestracja: 17 wrz 2013, o 16:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Chełm
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 104 razy
Dowód wzoru na sumę miar kątów wielokąta wklęsłego
Jak to nie, ta przekątna zawiera się w kącie wewnętrznym więc i w całym wielokącie.
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 5 sty 2013, o 21:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Dowód wzoru na sumę miar kątów wielokąta wklęsłego
... otostream/
\(\displaystyle{ A_{i}A_{k}}\) nie należy w całości do wielokąta.
\(\displaystyle{ A_{i}A_{k}}\) nie należy w całości do wielokąta.
- Michalinho
- Użytkownik
- Posty: 495
- Rejestracja: 17 wrz 2013, o 16:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Chełm
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 104 razy
Dowód wzoru na sumę miar kątów wielokąta wklęsłego
Bo \(\displaystyle{ A_k}\) nie jest najbliższym punktem wspólnym półprostej \(\displaystyle{ A_i A_k}\) i boku wielokąta.
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Dowód wzoru na sumę miar kątów wielokąta wklęsłego
To rzeczywiście jest trochę żmudne. W zasadzie dobra będzie też przekątna leżąca w całości na zewnątrz. Może łatwiej będzie Ci wykazać, że istnieje przekątna leżąca w całości na zewnątrz lub w całości wewnątrz.lubieplacki23 pisze:W wykazaniu, że w wielokącie wklęsłym zawsze istnieje przekątna w całości do niego należąca.
Można też wziąć dowolną przekątną, ale wtedy teza indukcyjna musi dotyczyć nie wielokątów, ale łamanych zamkniętych (być może z samoprzecięciami). Wtedy też trzeba doprecyzować, co rozumiemy przez "kąt wewnętrzny".
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 5 sty 2013, o 21:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Dowód wzoru na sumę miar kątów wielokąta wklęsłego
Ok, już rozumiem. Dzięki!Michalinho pisze:Bo \(\displaystyle{ A_k}\) nie jest najbliższym punktem wspólnym półprostej \(\displaystyle{ A_i A_k}\) i boku wielokąta.
- Michalinho
- Użytkownik
- Posty: 495
- Rejestracja: 17 wrz 2013, o 16:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Chełm
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 104 razy