Dowód wzoru na sumę miar kątów wielokąta wklęsłego

[lubieplacki23]

Witam,
szukam dowodu na fakt, że suma miar kątów dowolnego n-kąta wklęsłego wynosi \(\displaystyle{ (n-2) \pi}\) . Proszę o pomoc.

[norwimaj]

Wystarczy udowodnić, że suma miar kątów dowolnego \(\displaystyle{ n}\)-kąta jest równa \(\displaystyle{ (n-2) \pi,}\) a to już można przez indukcję.

[lubieplacki23]

Tak, przypadek wypukły jest prosty, ale co z wklęsłym?

[norwimaj]

W czym problem?

[lubieplacki23]

W wykazaniu, że w wielokącie wklęsłym zawsze istnieje przekątna w całości do niego należąca.

[Michalinho]

Wybierzmy sobie dowolny wierzchołek \(\displaystyle{ A_i}\). Poprowadźmy wszystkie półproste zawarte w kącie wewnętrznym \(\displaystyle{ A_{i-1} A_i A_{i+1}}\). Każda z tych półprostych ma co najmniej jeden punkt wspólny z bokami wielokąta. Dla każdej półprostej wybieramy ten, który jest najbliżej \(\displaystyle{ A_i}\). Mamy dwa przypadki:
I. Jeden z tych punktów jest pewnym wierzchołkiem powiedzmy \(\displaystyle{ A_k}\). Wtedy \(\displaystyle{ A_k A_i}\) jest szukaną przekątną.
II. Żaden z punktów nie jest wierzchołkiem, czyli wszystkie są punktami jednego boku, więc \(\displaystyle{ A_{i-1} A_i A_{i+1}}\) jest wypukły. Wtedy \(\displaystyle{ A_{i-1} A_{i+1}}\) jest szukaną przekątną.

[lubieplacki23]

I. Jeden z tych punktów jest pewnym wierzchołkiem powiedzmy \(\displaystyle{ A_k}\). Wtedy \(\displaystyle{ A_k A_i}\) jest szukaną przekątną.

Ale wtedy nie mamy pewności, że ta przekątna leży w całości w wielokącie.

[Michalinho]

Jak to nie, ta przekątna zawiera się w kącie wewnętrznym więc i w całym wielokącie.

[lubieplacki23]

... otostream/
\(\displaystyle{ A_{i}A_{k}}\) nie należy w całości do wielokąta.

[Michalinho]

Bo \(\displaystyle{ A_k}\) nie jest najbliższym punktem wspólnym półprostej \(\displaystyle{ A_i A_k}\) i boku wielokąta.

[norwimaj]

W wykazaniu, że w wielokącie wklęsłym zawsze istnieje przekątna w całości do niego należąca.

To rzeczywiście jest trochę żmudne. W zasadzie dobra będzie też przekątna leżąca w całości na zewnątrz. Może łatwiej będzie Ci wykazać, że istnieje przekątna leżąca w całości na zewnątrz lub w całości wewnątrz.

Można też wziąć dowolną przekątną, ale wtedy teza indukcyjna musi dotyczyć nie wielokątów, ale łamanych zamkniętych (być może z samoprzecięciami). Wtedy też trzeba doprecyzować, co rozumiemy przez "kąt wewnętrzny".

[lubieplacki23]

Bo \(\displaystyle{ A_k}\) nie jest najbliższym punktem wspólnym półprostej \(\displaystyle{ A_i A_k}\) i boku wielokąta.

Ok, już rozumiem. Dzięki!

[Michalinho]

Cała przyjemność po mojej stronie