Kąt - figura czy miara

[ZFC]

Witam!

Zastanawiam się czy \(\displaystyle{ \angle ABC}\) oznacza miarę kąta \(\displaystyle{ ABC}\) czy też część płaszczyzny i czy \(\displaystyle{ 180^\circ}\) oznacza miarę kąta czy też półpłaszczyznę. Piszemy przecie \(\displaystyle{ \angle ABC \equiv \angle PQR}\), ale również \(\displaystyle{ \angle ABC = 180^\circ}\). A przecie równość oznacza tożsamość. Czy ktoś mógłby rozwiać moje niejasności?

Pozdrawiam.

[jutrvy]

Jasne, mówimy o mierze kąta (chociaż tutaj można zauważyć, że każde dwa kąty o równej mierze na płaszczyźnie można odpowiednio poprzesuwać i poobracać w taki sposób, żeby ich ramiona i wierzchołki się pokrywały), przy czym Twoje pytanie chyba wskazuje na to, że w szkole nie było porządnej definicji kąta i dlatego masz z tym pojęciem problem. No to ja podam jedną z definicji.

Możesz sobie o mierze kąta myśleć tak, że jak masz kąt o wierzchołku w punkcie \(\displaystyle{ O_1}\), i drugi kąt o wierzchołku w punkcie \(\displaystyle{ O_2}\) to rysujesz sobie okrąg jednostkowy o środku w \(\displaystyle{ O_1}\), i jeszcze jeden okrąg jednostkowy o środku w \(\displaystyle{ O_2}\) i patrzysz na długość łuku wyciętego przez ramiona pierwszego kąta w okręgu \(\displaystyle{ O_1}\) i długość łuku wyciętego przez ramiona drugiego kąta w okręgu \(\displaystyle{ O_2}\). Mówimy, że kąty są równe wtedy i tylko wtedy, gdy długości tych łuków są równe, a kąt definiuje się jako długość takiego (krótszego) łuku. Jest to dobra definicja, nazywa się miarą łukową kąta, np kąt półpełny wynosi \(\displaystyle{ \pi}\), kąt prosty ma miarę \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\), itp.
Rozjaśniłem coś?

[kruszewski]

"Kąt (płaski) w geometrii euklidesowej – każda z dwóch części (tj. podzbiorów) płaszczyzny zawartych między dwiema półprostymi (wraz z nimi), nazwanymi ramionami, o wspólnym początku, zwanym wierzchołkiem. Czyli jest to część wspólna dwóch półpłaszczyzn wyznaczonych przez dwie nierównoległe proste, wraz z ich brzegami nazywanymi ramionami; ich punkt przecięcia to wierzchołek."
Tak pisze w Wikipedii i brak jest podstaw do kwestionowania tego co wyżej.
Zatem kąt jest figurą i posiada swoją miarę.
Pytasz:"czy \(\displaystyle{ 180^\circ}\) oznacza miarę kąta czy też półpłaszczyznę" ?
Jak z napisu widzimy obiekt geometryczny ma miarę kątową. Zatem jest kątem.
I ponownie za Wikipedią:
"Półpłaszczyzna – każda z dwóch części płaszczyzny, na jakie dzieli ją leżąca na niej prosta, wraz z tą prostą. Prosta ta jest wspólnym brzegiem wspomnianych półpłaszczyzn."

Czy płaszczyzna ma miarę?

[ZFC]

Jeśli zapis \(\displaystyle{ \angle ABC}\) oznacza pewną geometryczną figurę to nie może on być równy jakiejś liczbie, a jedynie przystawać; równość w matematyce oznacza identyczność, tożsamość. Stąd wnioskuję, że zapis \(\displaystyle{ \angle ABC}\) oznacza liczbę rzeczywistą z przedziału \(\displaystyle{ {0; 2\pi}}\), jednak jak wtedy formalnie zapisać kąt jeko geometryczną figurę? W wielu publikacjach równość kątów zapisuje się tak:
\(\displaystyle{ \angle ABC \equiv \angle PQR}\) oznacza to, że istnieje między nimi izometria. Jeśli taki zapis kąta oznacza liczbę rzeczywistą to nie lepiej użyć znaku równości?-- 31 gru 2014, o 20:54 --Aaaaa… Pisząc kąt ABC mamy na myśli figurę, a pisząć \(\displaystyle{ \angle ABC}\) mamy na myśli liczbę rzeczywistą z przedziału \(\displaystyle{ {0; 2\pi}}\). Czy tak?

[Analizator]

Pamiętam, że w szkole zapis \(\displaystyle{ \left|\angle ABC \right|}\) oznaczał miarę kąta, czyli liczbę natomiast \(\displaystyle{ \angle ABC / ABC}\) oznaczał właśnie figurę.