Wyznaczanie długości odcinka dwusiecznej

DanielMat · Post autor: **DanielMat** » 30 gru 2014, o 22:14

Witam, jako, że planimetria to moja pięta Achillesa, proszę o jakieś nakierowanie jak w ogóle zabrać się za to zadanie.
Mam dane ramiona trójkąta \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 7}\), kąt między nimi \(\displaystyle{ 120^{\circ}}\) i mam wyznaczyć długość odcinka dusiecznej kąta rozwartego zawartego w trójkącie.

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 30 gru 2014, o 22:17

Twierdzenie cosinusów i twierdzenie o dwusiecznej.
Pozdrawiam!

DanielMat · Post autor: **DanielMat** » 30 gru 2014, o 22:31

Przy założeniu, że \(\displaystyle{ a=3}\) i \(\displaystyle{ b=7}\), a kąt między nimi \(\displaystyle{ \alpha=120^{\circ}}\)
wychodzi \(\displaystyle{ c= \sqrt{79}}\) czy robię gdzieś błąd?

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 30 gru 2014, o 22:34

Wszystko jest w porządku. Teraz twierdzenie o dwusiecznej i oblicz długości odcinków na jakie dwusieczna podzieliła bok \(\displaystyle{ c}\). Zrób dobry rysunek. Potem ponownie tw. cosinusów do wyznaczenia cosinusa jednego z kątów największego trójkąta, i znó tw cosinusów by obliczyć długosć szukanego odcinka.
Pozdrawiam!

DanielMat · Post autor: **DanielMat** » 30 gru 2014, o 22:38

A to nie będzie dwusieczna która biegnie od kąta między ramionami czyli ta która dzieli kąt \(\displaystyle{ 120^{\circ}}\) ?

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 30 gru 2014, o 22:38

Dokladnie o niej mówię. Zrób rysunek.
Pozdrawiam!

DanielMat · Post autor: **DanielMat** » 30 gru 2014, o 22:50

Wyszła mi funkcja kwadratowa dla odcinka tej dwusiecznej i wyszły dwa wyniki
\(\displaystyle{ \left| CD\right| = 0,9}\) i \(\displaystyle{ \left| CD\right|=2,1}\)

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 30 gru 2014, o 22:52

Pokaż, jak liczyłeś.
Pozdrawiam!

DanielMat · Post autor: **DanielMat** » 30 gru 2014, o 23:28

Wyliczyłem dwa odcinki podstawy \(\displaystyle{ \left| AB\right|}\) jak mówiłeś, tradycyjnie oznaczyłem jakiś trójkąt.

\(\displaystyle{ \left| AD\right| = \frac{3 \sqrt{79} }{10}}\) i \(\displaystyle{ \left| DB\right|= \frac{7 \sqrt{79} }{10}}\) później twierdzenie cosinusów \(\displaystyle{ \left| AD\right|}\) oznaczyłem jako \(\displaystyle{ x}\), dwusieczną \(\displaystyle{ \left| CD\right|}\) jako y i równanie:

\(\displaystyle{ x^{2} =3 ^{2} +y ^{2} -2 \cdot 3 \cdot y \cdot \cos 60^{\circ}}\) wyszła ładna \(\displaystyle{ \Delta=1,44}\)
i te dwa rozwiązania.

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 31 gru 2014, o 00:20

Sprawdziłem wyniki, są w porządku. Więc teraz trzeba sobie odpowiedzieć na pytanie: Które rozwiązanie odrzucamy i dlaczego?
Pozdrawiam!

DanielMat · Post autor: **DanielMat** » 31 gru 2014, o 00:26

Myślę...
Pozdrawiam również!

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 31 gru 2014, o 00:29

No tak jak liczę, to z nierówności trójkąta tutaj nie pójdzie.
Trzeba pamiętać, że wysokość wypuszczona z wierzchołka kąta o mierze \(\displaystyle{ 120^\circ}\) będzie najkrótszym odcinkiem łączącym wierzchołek z podstawą.
Pozdrawiam!

DanielMat · Post autor: **DanielMat** » 31 gru 2014, o 00:36

Jeszcze wydaje mi się, że z pól trójkątów można to obliczyć na które dwusieczna podzieliła ten trójkąt.

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 31 gru 2014, o 00:39

Gdybyś robił tak jak proponowałem na początku, czyli obliczył jeszcze jeden cosinus kąta trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) i wykorzystując go w twierdzeniu cosinusów jako cosinus kąta leżącego naprzeciwko długości szukanego odcinka, nie byłoby tej kwestii. Ale tak też można.
Pozdrawiam!

DanielMat · Post autor: **DanielMat** » 31 gru 2014, o 01:09

Ale co z tym rozwiązaniem co mi wyszło na początku?
Które odrzucić i dlaczego?