Dowód prostopadłości prostych

[ZFC]

Witam, proszę o wskazówkę do następującego zadania:

Dany jest trójkąt równoboczny \(\displaystyle{ ABC}\), punkt \(\displaystyle{ D}\) leży na boku \(\displaystyle{ AB}\) oraz \(\displaystyle{ AD=2BD}\), a punkt \(\displaystyle{ E}\) leży na boku \(\displaystyle{ BC}\) oraz \(\displaystyle{ BE=2CE}\). Punkt przecięcia prostych \(\displaystyle{ AE}\) i \(\displaystyle{ CD}\) to \(\displaystyle{ P}\). Wykaż, że proste \(\displaystyle{ AE}\) i \(\displaystyle{ BP}\) są prostopadłe.

[piasek101]

Trochę karkołomny sposób - ale zawsze coś.

\(\displaystyle{ |AE|=|CD|}\) z cosinusów.

Kąty trójkąta (ich funkcje trygonometryczna) APD z cosinusów w trójkątach ACD oraz AEB.

Mając kąt \(\displaystyle{ ADP}\) znamy też \(\displaystyle{ BDP}\).

Z sinusów w \(\displaystyle{ ADP}\) mamy \(\displaystyle{ |DP|}\).

Z cosinusów w BDP mamy \(\displaystyle{ |BP|}\).

Sprawdzamy (mając pole ABE) czy \(\displaystyle{ |BP|}\) jest wysokością ABE.

[Hydra147]

Syntetycznie:
Przez \(\displaystyle{ P'}\) oznaczmy rzut punktu \(\displaystyle{ P}\) na \(\displaystyle{ AB}\), zaś przez \(\displaystyle{ K}\) punkt przecięcia prostej równoległej do \(\displaystyle{ AB}\) i przechodzącej przez \(\displaystyle{ E}\) z \(\displaystyle{ CD}\).
Zauważmy też, że \(\displaystyle{ \frac{PE}{AP} = \frac{KE}{AD} = \frac{ \frac{1}{9}AB }{ \frac{2}{3} AB} = \frac{1}{6}}\), a zatem \(\displaystyle{ \frac{6}{7}= \frac{AP}{AE} = \frac{PP'}{ED}}\). Z tw. Pitagorasa dla trójkąta \(\displaystyle{ BDE}\) liczymy \(\displaystyle{ {DE}^2= \frac{1}{3}a^2}\), a zatem z powyższego \(\displaystyle{ {PP'}^2= \frac{12}{49}a^2}\). Otrzymujemy także, że skoro \(\displaystyle{ \frac{AP'}{AD} = \frac{AP}{AE} = \frac{6}{7}}\), to \(\displaystyle{ AP'= \frac{4}{7}a}\) czyli też \(\displaystyle{ BP'= \frac{3}{7}a}\).
A zatem dostajemy związek \(\displaystyle{ AP' \cdot BP'={PP'}^2}\), który jest równoważny prostokątności trójkąta \(\displaystyle{ APB}\).

-- 30 gru 2014, o 22:45 --

Można też zrobić to analitycznie:
Wierzchołki naszego trójkąta równobocznego umieśćmy w punktach \(\displaystyle{ A=(1,0,0);B=(0,1,0);C=(0,0,1)}\) (jego bok będzie miał wówczas długość \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)). Wówczas punkty \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\) mają współrzędne \(\displaystyle{ D=( \frac{1}{3} , \frac{2}{3} ,0)}\) i \(\displaystyle{ E=0, \frac{1}{3} , \frac{2}{3} )}\). Równania prostych \(\displaystyle{ AE}\) i \(\displaystyle{ CD}\) mają odpowiednio postaci \(\displaystyle{ 1-x=3y= \frac{3}{2}z}\) oraz \(\displaystyle{ 3x= \frac{3}{2}y=1-z}\). Ich punkt wspólny-\(\displaystyle{ P}\) ma współrzędne \(\displaystyle{ P=( \frac{1}{7} , \frac{2}{7} , \frac{4}{7} )}\). Ze wzoru na odległość dwóch punktów przestrzeni otrzymujemy \(\displaystyle{ AP^2= \frac{8}{7}}\) i \(\displaystyle{ BP^2= \frac{6}{7}}\), a zatem z twierdzenia odwrotnego do tw. Pitagorasa dostajemy, że kąt \(\displaystyle{ APB}\) jest prosty c.b.d.o.

[ZFC]

Dziękuję Wam ślicznie! piasek101 - Twój sposób jak to określiłeś jest trochę karkołomny; ja dziś ze świeżym umysłem znalazłem rozwiązanie znacznie prostsze - proponuję Ci go poszukać

Pozdrawiam.