Uzasadnienie kąta prostego

DanielMat · Post autor: **DanielMat** » 29 gru 2014, o 23:07

Witam, mam kłopot z zadaniem na udowodnienie, prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu.

Mam dany trapez ABCD oraz dane dwa okręgi styczne o środkach w punktach B i C mam udowodnić, ze kąt DEA jest prosty.

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 29 gru 2014, o 23:16

Co powiesz o trójkatach ABE i CDE

DanielMat · Post autor: **DanielMat** » 29 gru 2014, o 23:22

Są podobne bo w \(\displaystyle{ DCE}\) dwa promienie są równe, a w \(\displaystyle{ ABE}\) również dwa promienie są równe.
Co dalej?

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 29 gru 2014, o 23:25

Nie. Oba są równoramienne, ale nie podobne. Teraz co powiesz o obu wierzchołkach tych trójkątów tj. C i B i kątach.

DanielMat · Post autor: **DanielMat** » 29 gru 2014, o 23:33

Dwa kąty przy podstawie w obu trójkątach będą miały jednakową długość, oba wierzchołki są środkami tych okręgów i będą miały miary 360 - kąt przy danym wierzchołku. Może to?

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 29 gru 2014, o 23:39

Widzę, że ktoś tu zgaduje. Jeżeli przy kącie \(\displaystyle{ DCE}\) oznaczymy kąt \(\displaystyle{ \alpha}\), to kąt \(\displaystyle{ ABE}\) będzie mieć miarę \(\displaystyle{ 180^{\circ}-\alpha}\). Wiadomo to stąd, że jest to trapez więc korzystamy z równoległości odcinków. Mając już takie oznaczenie i wiedzę o równoramienności obu trójkątów dostajemy odpowiedź.

\(\displaystyle{ \beta}\) - szukany kąt.

\(\displaystyle{ \angle AEB + \beta + \angle DEC = 180^{\circ}}\)

Przy czym kąty \(\displaystyle{ \angle AEB , \angle DCE}\) wyliczmy z poprzednich rozważań

DanielMat · Post autor: **DanielMat** » 29 gru 2014, o 23:43

Ale to nam nie da uzasadnienia że kąt DEA jest prosty.

Tak zgadywałem, bo nie mam pojęcia jak się za to zabrać.

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 29 gru 2014, o 23:49

Da, da. Policzę \(\displaystyle{ \angle AEB}\) przy założeniu, że przy kącie \(\displaystyle{ \angle ABE}\) oznaczyłem kąt \(\displaystyle{ 180^{\circ}-\alpha}\).

\(\displaystyle{ 180^{\circ} - \left( 180^{\circ}-\alpha\right)}\) - tyle jest w pozostalych dwóch kątach trójkąta, ale wiemy, że jet równoramienny więc przy \(\displaystyle{ \angle AEB}\) jest

\(\displaystyle{ \frac{180^{\circ} - \left( 180^{\circ}-\alpha\right)}{2}= \frac{\alpha}{2}}\)

Policz podobnie drugi i skorzystaj z tego co pisałem w poprzednim poście. (alfy ci się zredukują i wynik pięknie się wyjawi )

Pinionrzek · Post autor: **Pinionrzek** » 30 gru 2014, o 00:02

Możesz też narysować prostą przechodzącą przez \(\displaystyle{ E}\), równoległą do \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\). Wtedy tezę dostajesz po zliczeniu pary kątów.

DanielMat · Post autor: **DanielMat** » 30 gru 2014, o 00:39

Hm, \(\displaystyle{ \angle DCE = \alpha}\)
\(\displaystyle{ \frac{180^{\circ} -\alpha}{2}}\)

Nie wiem ;(

-- 30 gru 2014, o 00:42 --

\(\displaystyle{ \frac{180^{\circ} -\alpha}{2} + \beta + \frac{\alpha}{2} =180^{\circ}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ 180^{\circ} - \alpha + \alpha}{2} + \beta =180^{\circ}

\beta=90^{\circ}}\)

Wyszło, ale jak to tak ładnie już końcowo napisać?

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 30 gru 2014, o 00:46

No pięknie... masz odpowiedz bo:

\(\displaystyle{ \frac{180^{\circ} -\alpha}{2} + \beta + \frac{\alpha}{2} = 90^{\circ}- \frac{\alpha}{2}+ \beta + \frac{\alpha}{2} = 90^{\circ} + \beta = 180^{\circ}}\)

a stąd: \(\displaystyle{ \beta = 90^{\circ}}\)

Przy ładnych oznaczeniach takie rachunki w zupełności wystarczą.

DanielMat · Post autor: **DanielMat** » 30 gru 2014, o 00:49

Dziękuję bardzo, pochwała jak najbardziej się należy
Całość leżała w tym, że w trapezie korzystamy z równoległości odcinków o czym nie wiedziałem.

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 30 gru 2014, o 00:52

Taka jest definicja trapezu. Czworokąt z parą boków równoległych.

DanielMat · Post autor: **DanielMat** » 30 gru 2014, o 00:54

No tak, nie pomyślałem.