Trapez, twierdzenie o polach

[chlopina]

Gdzieś słyszałem o tym ale nie mogę znaleźć nic w internecie.

1. Czy to prawda, że jeżeli w trapezie \(\displaystyle{ ABCD}\), gdzie \(\displaystyle{ AB || CD}\) oraz przekątne przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ P}\), to trójkąty \(\displaystyle{ APD}\) oraz \(\displaystyle{ BPC}\) mają równe pola? Jeśli tak to mógłbym dostać wskazówkę jak to udowodnić?

2. Jeżeli punkty \(\displaystyle{ M}\), \(\displaystyle{ N}\) są środkami podstaw trapezu \(\displaystyle{ ABCD}\), to punkt \(\displaystyle{ P}\) przecięcia się przekątnych będzie należał do odcinka \(\displaystyle{ MN}\)?

[wujomaro]

1. Poprowadź wysokość trapezu i przypomnij sobie jak wygląda wzór na pole trójkąta.
Pozdrawiam!

[Hydra147]

1. Trójkąty \(\displaystyle{ DCA}\) i \(\displaystyle{ DCB}\) mają jednakowe pola i równe wysokości. Odejmując od obu stron tej równości pole trójkąta \(\displaystyle{ DCP}\) otrzymujemy, co chcemy.
2. Odcinek \(\displaystyle{ MN}\) dzieli nam nasz trapez na dwie figury o jednakowych polach. To samo robi nam łamana złożona z odcinków \(\displaystyle{ MP}\) i \(\displaystyle{ PN}\), zatem musi być ona tymże odcinkiem.

[chlopina]

Ok dzięki, 1. już jasne.
Czyli wychodzi na to, że 2. tez jest prawdą?

[Hydra147]

Tak, ponieważ pole trójkąta \(\displaystyle{ MPN}\) jest równe zeru.
EDIT:
Można to też zrobić tak:
Oznaczmy punkt przecięcia się prostych \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BC}\) przez \(\displaystyle{ X}\). Z twierdzenia talesa mamy \(\displaystyle{ \frac{XA}{AD}= \frac{AB}{BC}}\), zatem z twierdzenia Cevy proste \(\displaystyle{ XN,CA,DB}\) tną się w jednym punkcie (czytaj punkt \(\displaystyle{ P}\) leży na prostej \(\displaystyle{ AN}\)). Ponadto na tej prostej z twierdzenia Talesa leży też punkt \(\displaystyle{ M}\) c.k.d.

[chlopina]

Czyli teraz dodatkowo wyszło, że jeszcze punkt \(\displaystyle{ X}\) leży na prostej \(\displaystyle{ MN}\) dobrze rozumiem?

Tam jak napisałeś w nawiasie to nie powinno być, że punkt P leży na prostej MN zamiast AN?

[Hydra147]

Tak, co do nawiasku nie do końca- powinno być \(\displaystyle{ XN}\) najpierw dowodzę, że na prostej \(\displaystyle{ XN}\) leży punkt \(\displaystyle{ P}\), a potem punkt \(\displaystyle{ M}\) czyli punkty \(\displaystyle{ X,M,P,N}\) leżą na jednej prostej.