Pole czworokąta wpisanego w okrąg - miary kątów

[janusz2000]

Witam,
mam problem ze zrozumieniem pewnej kwestii w nastepującym zadaniu:
"W czworokącie ABCD wpisanym w okrąg dane są: |CD|= 6, |BC|= 12, |AD|= 10, |AB|= 4. Wyznacz pole czworokąta."

Z twierdzenia cosinusów ulozylem rownanie na przekątną |DB|:
\(\displaystyle{ |DB|^{2} = 116 - 80cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ |DB|^{2} = 180 - 144cos(180- \alpha)}\)
\(\displaystyle{ 116 - 80cos\alpha = 180 - 144cos(180- \alpha)}\)

Z tego wychodzi mi \(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{2}{7}}\), czyli tak jak w odpowiedziach. Kolejnym krokiem było wyliczenie dwoch pol powstalych trojkatow ze wzoru \(\displaystyle{ P = \frac{1}{2}ab \cdot sin \alpha.}\) Tutaj wlasnie napotykam na problem, ktorego nie rozumiem, mianowicie; mam dwa kąty \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\), mam wyliczony \(\displaystyle{ cos \alpha}\), z 1 trygonometrycznej wyliczam sobie \(\displaystyle{ sin \alpha}\), moge wiec teraz obliczyc pole jednego z trojkatow. Teraz kwestia wyliczenia \(\displaystyle{ sin \beta}\), wiem, ze sin i cos w 90° się "dopelniaja" ale tutaj mamy 180°, jak mam to obliczyc? Prosilbym o dokladne wytlumaczenie mi tej kwestii bo nie do konca ją rozumiem.

Pozdrawiam

[janusz47]

Ze wzoru redukcyjnego
\(\displaystyle{ \cos(\beta)=\cos(180^{o}-\alpha)=-cos(\alpha)}\)
i z jedynki trygonometrycznej obliczasz \(\displaystyle{ sin(\beta)=\sqrt{1- (-cos(\alpha))^2}.}\)

[bakala12]

Nieco szerzej odnośnie tego zadania. Zadanie można skończyć właściwie jednolinijkowo korzystając z następującego twierdzenia, zwanego wzorem Brahmagupty

Jeżeli czworokąt o bokach długości \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\), \(\displaystyle{ c}\), \(\displaystyle{ d}\) jest wpisany w okrąg to jego pole wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ P=\sqrt{\left( p-a\right)\left( p-b\right)\left( p-c\right)\left( p-d\right) }}\)
gdzie \(\displaystyle{ p=\frac{a+b+c+d}{2}}\)

Jest to wzór analogiczny do wzoru Herona, tyle że dla czworokątów. Ważna uwaga jest taka że wzór działa tylko dla czworokątów wpisanych w okrąg.
Natomiast dla dowolnego czworokąta prawdziwy jest następujący wzór:
\(\displaystyle{ P=\sqrt{\left( p-a\right)\left( p-b\right)\left( p-c\right)\left( p-d\right)-abcd\cos\frac{\angle A+\angle C}{2}}}\)
Ze wzoru tego wynika w bardzo prosty sposób wzór Brahmagupty.