prostokąt w prostokącie

[serafina]

W prostokącie \(\displaystyle{ ABCD}\) o bokach mających długość \(\displaystyle{ 7}\) i \(\displaystyle{ 5}\) wpisano prostokąt \(\displaystyle{ PQRS}\)(do każdego boku prostokąta \(\displaystyle{ ABCD}\) należy jeden wierzchołek prostokąta \(\displaystyle{ PQRS}\)). Stosunek sąsiednich boków w prostokącie \(\displaystyle{ PQRS}\) jest równy \(\displaystyle{ 2:1}\). Oblicz pole prostokąta \(\displaystyle{ PQRS}\)

[Gouranga]

\(\displaystyle{ \begin{cases}
x+y=7\\
p+q = 5\\
\frac{x}{p} = \frac{q}{y}\\
xp = 4yq\end{cases}}\)

pytanie czy coś z tego wynika

[serafina]

ano właśnie... na pewno tu jakieś podobienstwo, trójkątów na przykład (chodzi mi o pozostały obszar prostokąta ABCD).
nawet za bardzo nie da się tego narysować w "kratkach"

[Gouranga]

Właśnie rozwiązałem, jest banalnie proste...
Z podobieństwa można wywnioskować, że skoro przeciwprostokątne tych trójkątów są w stosunku 2:1 to ich konkretne przyprostokątne też. Oznacz sobie odpowiednie odcinki x, y, 2x, 2y i dostaniesz banalny układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x+2y = 7\\
2x+y = 5\end{cases}}\)

to da Ci długości podziałów boków, z Pitagorasa obliczysz długości boków tego w środku (wystarczy jeden, drugi jest 2x dłuższy) i liczysz pole