Dany jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 16. Na boku BC obrano punkt K dzielący ten bok w stosunku 3:5 licząc od punktu B. Wyznacz sinus kąta BAK i pole trójkąta BAK.
Narysowałem wszystko
Obliczyłem długości
KB=6 KC=10
Teraz mały trójkąt ma boki 16 i 6, lecz nie wiem jak się zabrać za policzenie 3 boku. Podpowie ktoś?
Trójkąt równoboczny ABC.
-
bakala12
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Trójkąt równoboczny ABC.
Zaproponuję inną sztuczkę, być może przekombinowaną, ale mniej na pałę
Obróćmy punkt \(\displaystyle{ K}\) o \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\) wokół punktu \(\displaystyle{ A}\) zgodnie z ruchem wskazówek zegara otrzymując punkt \(\displaystyle{ K'}\). Wówczas łatwo spostrzec, że \(\displaystyle{ \Delta AKK'}\) jest równoboczny, a trójkąt \(\displaystyle{ \Delta BKK'}\) ma kąty \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ 60^{\circ}-\alpha}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha = \angle BAK}\). Stąd wynika, że punkty \(\displaystyle{ A,K',B,K}\) leżą na jednym okręgu, a jego promień jest równy promieniowi okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\). Stąd z twierdzenia sinusów dostaniemy kąt \(\displaystyle{ \alpha}\), a pole \(\displaystyle{ \Delta BAK}\) jest za darmo i wynosi \(\displaystyle{ \frac{3}{8}}\) pola trójkąta \(\displaystyle{ \Delta ABC}\)
Obróćmy punkt \(\displaystyle{ K}\) o \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\) wokół punktu \(\displaystyle{ A}\) zgodnie z ruchem wskazówek zegara otrzymując punkt \(\displaystyle{ K'}\). Wówczas łatwo spostrzec, że \(\displaystyle{ \Delta AKK'}\) jest równoboczny, a trójkąt \(\displaystyle{ \Delta BKK'}\) ma kąty \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ 60^{\circ}-\alpha}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha = \angle BAK}\). Stąd wynika, że punkty \(\displaystyle{ A,K',B,K}\) leżą na jednym okręgu, a jego promień jest równy promieniowi okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\). Stąd z twierdzenia sinusów dostaniemy kąt \(\displaystyle{ \alpha}\), a pole \(\displaystyle{ \Delta BAK}\) jest za darmo i wynosi \(\displaystyle{ \frac{3}{8}}\) pola trójkąta \(\displaystyle{ \Delta ABC}\)