równoległobok stosunek,pola,proste przecinające sie w jedny

[motylek2001]

Przez punkt \(\displaystyle{ P}\) przekątnej \(\displaystyle{ BD}\) równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\) poprowadzono proste równoległe
do jego boków. Udowodnij, że (patrz rysunek)
a) \(\displaystyle{ PX \cdot PY = PU \cdot PV}\) .
b) Pola zacieniowanych równoległoboków są równe,
c) Proste \(\displaystyle{ UV , \ XY , \ BD}\) przecinają się w jednym punkcie

proszę o pomoc bo nie wiem co robię źle
znalazłam dwie pary trójkątów podobnych
1) \(\displaystyle{ DPU \sim BPX}\)
2) \(\displaystyle{ DPY \sim VPB}\)
no i z pierwszego mam \(\displaystyle{ \frac{PU}{DP}= \frac{PX}{BP}}\)
z drugiego \(\displaystyle{ \frac{PY}{DP} = \frac{PB}{PV}}\)
i wychodzi mi ze \(\displaystyle{ PX= \frac{BP \cdot PU}{DP}}\)
A \(\displaystyle{ PY= \frac{DP \cdot PB}{PV}}\)
\(\displaystyle{ PX \cdot PY= \frac{BP \cdot PU}{DP} \cdot \frac{DP \cdot PB}{PV}}\)
\(\displaystyle{ PX \cdot PY= \frac{PB ^{2} \cdot PU }{PV}}\)
natomiast b i c nie wiem jak ruszyć

[bakala12]

Punkt a)
Narysuj czworokąt \(\displaystyle{ XYUV}\). Teza jest równoważna temu że ten czworokąt da się wpisać w okrąg (dlaczego to jest równoważne?). Teraz wystarczy popatrzeć na kąty i przekonać się że przeciwległe kąty czworokąta rzeczywiście sumują się do 180 stopni.
To jest alternatywne podejście i może Ci się nie spodobać. Ale jak wiesz jak się to dowodzi (podobieństwem trójkątów) to możesz zobaczyć które trójkąty są podobne tam i spróbować uzmysłowić sobie podobieństwo jakich trójkątów w twoim zadaniu należy pokazać.
Punkt b)
Wynika bezpośrednio z punktu a) i wzoru na pole równoległoboku (tego z sinusem).
Punkt c)
W ogólności teza jest nieprawdziwa. Jeżeli weźmiemy punkt \(\displaystyle{ P}\) jako środek przekątnej \(\displaystyle{ BD}\) to wspomniane 3 proste są parami równoległe.

[timon92]

Punkt a)
Narysuj czworokąt \(\displaystyle{ XYUV}\). Teza jest równoważna temu że ten czworokąt da się wpisać w okrąg

nie jest

[bakala12]

Mogę zapytać dlaczego?

[timon92]

gołym okiem widać, że oba kąty \(\displaystyle{ YUV}\) i \(\displaystyle{ VXY}\) mogą być rozwarte (jeśli np. \(\displaystyle{ P}\) jest środkiem przekątnej), więc \(\displaystyle{ XYUV}\) nie musi dawać się wpisać w okrąg

to że \(\displaystyle{ XYUV}\) da się wpisać w okrąg byłoby równoważne temu, że \(\displaystyle{ PX\cdot PU=PY\cdot PV}\)

[bakala12]

Dziękuję za wytłumaczenie. Rzeczywiście, strzeliłem ogromną gafę Już wszystko jasne. Jeszcze raz dziękuję za pokazanie mi błędu.

[motylek2001]

już doszłam do właściwego rozwiązania części a i b ale spiszę je tu dla potomności
\(\displaystyle{ \triangle PVB \sim \triangle PYD}\)
z tego mamy \(\displaystyle{ \frac{PV}{PY}=\frac{VB}{YD}}\)
Z tego że \(\displaystyle{ VB=PX}\) z równolegloboku \(\displaystyle{ PXVB}\)
i \(\displaystyle{ YD=PU}\) z równoległoboku \(\displaystyle{ PUDY}\)
mamy \(\displaystyle{ \frac{PV}{PY}=\frac{PX}{PU}}\)
czyli \(\displaystyle{ PV \cdot PU=PY \cdot PX}\)
część b wynika z części a i z wzoru na pole z sinusem kąta.
c niestety niewiem

[timon92]

część c) wychodzi z twierdzenia Talesa