Udowodnij, że odcinki dzielą się w stosunku 1:6

arnold4 · Post autor: **arnold4** » 26 lis 2014, o 19:02

Jest trójkąt $\displaystyle{ ABC}$. Poprowadzono środkową $\displaystyle{ CD}$, na której wyznaczono punkt $\displaystyle{ E}$ taki, że $\displaystyle{ |CE|:|ED|=1:3}$.
Poprowadzono także prostą która przechodzi przez punkty $\displaystyle{ A}$ i $\displaystyle{ E}$ oraz przecina bok $\displaystyle{ BC}$ w punkcie $\displaystyle{ P}$.
Udowodnić, że $\displaystyle{ |PC|:|PB|=1:6}$.
Zadanie próbowałem rozwiązywać poprzez porównywanie pól, ale jednak nie potrafiłem dojść, jak związać ze sobą te dwa odcinki.
Może ktoś wie, jak to zrobić?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 26 lis 2014, o 19:26

Dorysuj pomocniczą prostą równoległą.

\(\displaystyle{ \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(3.19,4.74)(15.8,11.69)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(3.19,4.74)(17.8,12.69)
\psline(5,6)(13.22,5.92)
\psline(8.18,10.96)(13.22,5.92)
\psline(8.18,10.96)(5,6)
\psline(8.18,10.96)(9.11,5.96)
\psplot{3.19}{17.8}{(--1.92--3.71*x)/3.41}
\psplot{3.19}{17.8}{(-13.46--3.71*x)/3.41}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5,6)
\rput[bl](4.56,6.07){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](13.22,5.92)
\rput[bl](13.26,5.99){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](8.18,10.96)
\rput[bl](8.23,11.04){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](9.11,5.96)
\rput[bl](9.36,6.03){\darkgray{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](8.41,9.71)
\rput[bl](8.02,9.83){\darkgray{$E$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](8.9,10.24)
\rput[bl](8.89,10.47){\darkgray{$P$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](11.06,8.08)
\rput[bl](11,8.27){\darkgray{$G$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}}\)

Pokombinuj teraz z Twierdzeniem Talesa. Dwukrotnie.

bakala12 · Post autor: **bakala12** » 26 lis 2014, o 20:16

Można natychmiastowo użyć twierdzenia Menelaosa, bez kombinowania. Ale to metoda pro

arnold4 · Post autor: **arnold4** » 26 lis 2014, o 20:18

Boże, że ja tego nie zauważyłem... A myślałem o talesie tylko jakoś nie wpadłem na to.
Wymyśliłem że $\displaystyle{ |CP|:|PG| = 1:3}$, jednocześnie $\displaystyle{ |BG|:|BD|=|PG|:|AD|}$
Zatem, $\displaystyle{ |BG|:|PG|=1}$, więc $\displaystyle{ |PG|=|BG|=3|CP|}$.
Więc $\displaystyle{ |CP|:|PB|=|CP|:6|CP|=1:6}$

Dobrze myślę?

bakala12 · Post autor: **bakala12** » 26 lis 2014, o 20:24

Jak najbardziej poprawnie.

oleksik · Post autor: **oleksik** » 27 lis 2014, o 12:00

Mam pytanie do arnold4 jak wykazać że |CP| : |PG| = 1:3 ?

Ania221 · Post autor: **Ania221** » 27 lis 2014, o 13:38

Ramiona kąta $\displaystyle{ DCB}$ przecięte prostymi równoległymi.

AndrzejK · Post autor: **AndrzejK** » 27 lis 2014, o 18:04

bakala12 pisze:Można natychmiastowo użyć twierdzenia Menelaosa, bez kombinowania. Ale to metoda pro

jak użyć tu twierdzenia menelaosa?

Pinionrzek · Post autor: **Pinionrzek** » 27 lis 2014, o 23:15

AndrzejK, do trójkąta $\displaystyle{ DBC}$.

IMI95 · Post autor: **IMI95** » 2 gru 2014, o 19:47

Witam ...ja zrobilem zadanie w ten sposob:
$\displaystyle{ \frac{AC}{AD}=\frac{CE}{ED} \\
\frac{AC}{AB}=\frac{CF}{FB}=\frac{AC}{AD} \cdot \frac{1}{2}(\text{polowa AB})=\frac{CE}{ED} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6} \text{cnw}}$ .
Prosilbym o potwierdzenie, czy powyzszy sposob jest prawidlowy,czy nie :p

bakala12 · Post autor: **bakala12** » 4 gru 2014, o 20:44

Można wiedzieć skąd się wzięła pierwsza równość? Widać z rysunku yorgina, że wygląda na nieprawdziwą.