obliczanie pola trapezu na podstawie dwusiecznej kąta

[wiochacz]

Jeśli ktoś będzie łaskaw pomóc w rozwiązaniu tego zadania: Długości podstaw trapezu równoramiennego są równe 5 cm i 3 cm. Oblicz pole tego trapezu wiedząc że jego przekątna zawarta jest w dwusiecznej kąta przy dłuższej podstawie.

[Ania221]

Zrób rysunek.
Zauważ, że przekątna dzieli kąt przy dłuższej podstawie na 2 kąty \(\displaystyle{ \alpha}\)
Popatrz na kąt \(\displaystyle{ ACD}\), jaki jest ?
A trójkąt \(\displaystyle{ ACD}\)?

[wiochacz]

Rysunek namalowałem. Jak mniemam skoro przekątna dzieli kąt na dwa kąty to są one równej wartości. Ale co z tego wynika to nie wiem. Kąt ACD jest katem ostrym a trójkąt ACD nie wiem jaki jest czyżby równoramienny?

[Ania221]

A podstawy \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) jakie są względem siebie?
Stąd, jakie są kąty \(\displaystyle{ BAC}\) i \(\displaystyle{ ACD}\) ?

[wiochacz]

Skoro trapez jest równoramienny to podstawy sa względem siebie równoległe. Kąty BAC i ACD wydaje mi się że będa miały taką samą wartość. Ale co z tego wynika hm nie bardzo wiem. Czyżby trójkąt ACD był równoramienny?

[kropka+]

Tak. Teraz narysuj wysokości trapezu opuszczone z \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\) na podstawę \(\displaystyle{ AB}\). Oznacz ich spodki jako odpowiednio \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\). Jakie są długości boków trójkątów \(\displaystyle{ AED}\) i \(\displaystyle{ FBC}\)?

[Dilectus]

Skoro trapez jest równoramienny to podstawy sa względem siebie równoległe.

W każdym trapezie podstawy są równoległe. Wynika to z definicji trapezu...

Z warunków zadania wynika, że boki trapezu są równe jego krótszej podstawie (bo przekątna trapezu leży na dwusiecznej kąta przy dłuższej podstawie. Oznaczmy wierzchołki trapezu \(\displaystyle{ A, \ B, \ C, \ D}\). Wówczas \(\displaystyle{ \left| AB\right|=5, \ \left| CD\right|=3}\) Wysokość trapezu opuszczona z wierzchołka D na podstawę wyznacza na niej punkt \(\displaystyle{ E}\). Rozwiążmy trójkąt prostokątny \(\displaystyle{ AED}\):

\(\displaystyle{ \left| AD\right|=\left| CD\right| =3}\)

\(\displaystyle{ AE= \frac{\left| AB\right| -\left| CD\right| }{2}= \frac{5-3}{2}=1}\)

Z tw. Pitagorasa

\(\displaystyle{ h=\left| DE\right| =\sqrt {\left| AD\right|^2-\left| AE\right|^2} =2 \sqrt{2}}\)

Mamy więc wysokość trapezu i długość obu jego podstaw. W tej sytuacji znalezienie jego pola jest trywialne...

[wiochacz]

Racja, jak bok jest równy podstawie to dalej idzie łatwo. Trzeba było to wymyśleć:) dziękuje serdecznie za pomoc