Wydzielenie połowy okręgu i innym okręgiem

Joorkan · Post autor: **Joorkan** » 13 lis 2014, o 23:32

Jestem nowy na forum i witam wszystkich serdecznie.
Od jakiego czasu męczy mnie pewien problem, zagadka, która mi przyszła do głowy. Mając dwa takie same okręgi, w jaki sposób jednym wydzielić idealnie połowę pola drugiego? Czy to jest możliwe?
Pozdrawiam!

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 13 lis 2014, o 23:50

Dla okręu raczej nie Okręgi nie mają powierzchni.
Ale dla koła możliwe jest na pewno. Skąd to wiem?
Mając dwa koła obok siebie i przesuwając jeden do drugiego (ciągle przesuniecie) dążąc do tego aby sie pokryły, na początku jedna częśc ma większe pole od drugiej... ale następuje moment kiedy druga część podziału ma większe od pierwszego - stąd musi być taki moment, że pola są równe.

Próbowaleś z całki?

kerajs · Post autor: **kerajs** » 13 lis 2014, o 23:57

To problem kozy.
Kolega Kacperdev pewnie już nie pamięta, ale całka jest tu dość kłopotliwa.
W 363136.htm zadanie to jest rozwiazanie .

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 13 lis 2014, o 23:58

kerajs, hahah.... faktycznie, już pamiętam

kerajs · Post autor: **kerajs** » 14 lis 2014, o 00:00

Ale to ja teraz się pomyliłem, bo to akurat nie jest ten problem kozy który jest w podanym linku. Bo tu przecież są dwa koła o tym samym promieniu. Sorry.

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 14 lis 2014, o 00:02

Ale to nie będzie szczególny przypadek?

Dilectus · Post autor: **Dilectus** » 14 lis 2014, o 00:13

Niech oba okręgi mają promień r. Musisz jednym z nich wyciąć kawałek drugiego w taki sposób, by podzielić pole na pół. Wspólna część obu okręgów jest sumą dwóch odcinków kół i ta suma musi mieć pole

\(\displaystyle{ S = \frac{1}{2}\pi r^2}\)

Wzór na pole wycinka koła o promieniu r, opartego na kącie \(\displaystyle{ \alpha}\) jest taki:

\(\displaystyle{ P _{w} = \frac{\alpha}{360}\cdot \pi r^2}\)

Pole odcinka koła opartego na kącie \(\displaystyle{ \alpha}\)

\(\displaystyle{ P _{o} = P _{w} - \frac{r^2}{2}\sin \alpha}\) (dlaczego?)

Warunki zadania mówią, że

\(\displaystyle{ 2P _{o}= S}\)

I dalej to już trywialne - znajdujesz kąt \(\displaystyle{ \alpha}\), przy którym to równanie zachodzi.

kerajs · Post autor: **kerajs** » 14 lis 2014, o 01:07

To trywialne równanie :
\(\displaystyle{ \frac{ \alpha}{360} \pi - \frac{1}{2} \sin \alpha = \frac{1}{4} \pi}\)
ma tylko rozwiązanie przybliżone:
\(\displaystyle{ \alpha \approx 132 ^{\circ}21 ^{'} \ \ ( \approx 2,30988 \ rad )}\)
choć bardziej użyteczną jest odległość między środkami kół \(\displaystyle{ \ \approx 0,807947R}\)

Mam nadzieje że gdzieś się nie pomyliłem w obliczeniach.

Dilectus · Post autor: **Dilectus** » 14 lis 2014, o 01:13

Z tą trywialnością, to był niewinny żarcik...

Joorkan · Post autor: **Joorkan** » 14 lis 2014, o 11:47

Dzięki za odpowiedzi Szczerze mówiąc to jestem noga z matematyki i tak nie bardzo rozumiem tych równań, ale planuję się podszkolić. Pozdrawiam