Wzór na pole trapezu wyprowadzenie

[myszkamyszka]

Zna ktoś wyprowadzenie do tego wzoru na pole trapezu:

\(\displaystyle{ P = \left( \sqrt{S_{1}} + \sqrt{S_{2}} \right)^{2}}\)

gdzie \(\displaystyle{ S_{1}, S_{2}}\) to pola dwóch trójkątów podobnych, na jakie dzielą przekątne ten trapez.

[ikami]

Najpierw trzeba wykazać że pola \(\displaystyle{ S_{3}}\) i \(\displaystyle{ S_{4}}\) są równe, a następnie prowadzisz wysokości z wierzchołków tego trapezu do przekątnych.
Zapisujesz wzory na pola trójkątów \(\displaystyle{ S_{1}, S_{2}}\) i \(\displaystyle{ S_{3}}\). Jak sie przyjrzysz tym wzorom to wychodzi teza.

[wujomaro]

Ten wzór rozpisz sobie ze wzoru skróconego mnozenia.
Rysunek, narysuj przekątne, patrz na pola poszczególnych trójkątów.
Pozdrawiam!

[Chewbacca97]

Zacznij od rysunku!


Zauważ, że pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) równe jest polu trójkąta \(\displaystyle{ ABD}\), ponieważ zarówno ich podstawa jak i wysokość są równe. \(\displaystyle{ P_{2}+P_{4}=P_{2}+P_{3} \Rightarrow P_{4}=P_{3}}\)

Dalej możesz np. tak: \(\displaystyle{ \frac{P_{3}}{P_{1}} = \frac{P_{2}}{P_{4}} \Leftrightarrow \frac{P_{3}}{P_{1}} = \frac{P_{2}}{P_{3}} \Rightarrow P_{3}^{2} = P_{1}P_{2} \Rightarrow P_{3} = \sqrt{P_{1}P_{2}}}\). Ale dlaczego? Przemyśl to.

Na sam koniec zapisujemy pole trapezu jako:
\(\displaystyle{ P_{T} = P_{1}+ 2\sqrt{P_{1}P_{2}} + P_{2} = \left( \sqrt{P_{1}} + \sqrt{P_{2}} \right)^{2}}\)