Prosta Simsona i konstrukcje trójkątów.

[Przemyslaw Grabowski]

Witam!
Jak wiadomo z twierdzenia o prostej Simsona, jeśli mając pewien trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) i punkt \(\displaystyle{ P}\) leżący na okręgu opisanym na tym trójkącie, który nie jest żadnym z wierzchołków trójkąta to rzutując prostopadle ten punkt na proste zawierające boki trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) otrzymamy 3 różne punkty, które będą współliniowe.

Ostatnio sobie myślałem, aby pójść w "drugą stronę", tj. na początku dostajemy pewne trzy różne punkty \(\displaystyle{ E}\), \(\displaystyle{ F}\) i \(\displaystyle{ G}\), które są współliniowe i znaleźć ilość ,,takich zestawów' (trójkąt \(\displaystyle{ X}\), punkt \(\displaystyle{ P}\)), że rzuty prostopadle punktu \(\displaystyle{ P}\) na proste zawierające boki trójkąta \(\displaystyle{ X}\) są punktami \(\displaystyle{ E}\),\(\displaystyle{ F}\),\(\displaystyle{ G}\). (oczywiście punkt \(\displaystyle{ P}\) leży na okręgu opisanym na trójkącie \(\displaystyle{ X}\))

Ja doszedłem tylko do tego, że jeśli ilość tych zestawów jest skończona to jest RACZEJ parzysta, ale nic więcej(wiem, że to mało..., a dokładniej nic ^^).

Ma ktoś może z Was pomysł jak pozliczać ilość takich zestawów? Lub podać sposób konstrukcji na jakikolwiek z nich? Albo też na wszystkie? Jak szaleć to szaleć.

Pozdrawiam!

[Ponewor]

To raczej oczywiste, że jest ich nieskończenie dużo. Wybierz dowolny punkt \(\displaystyle{ A}\). Poprowadź proste \(\displaystyle{ AE}\) i \(\displaystyle{ AF}\). Poprowadź do tych prostych proste prostopadłe przechodzące odpowiednio przez \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) i przecinające się w punkcie \(\displaystyle{ P}\). Teraz poprowadź prostą prostopadłą do \(\displaystyle{ PG}\). Proste \(\displaystyle{ AE}\), \(\displaystyle{ AF}\) i \(\displaystyle{ PG}\) wyznaczają nam trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), a ponieważ \(\displaystyle{ A}\) wybieraliśmy dowolnie, to i trójkątów mamy dowolnie dużo.

[Przemyslaw Grabowski]

Nie dla mnie. ;{
Mnie geometria jakoś zazwyczaj nie porusza, przez co ja jej zwykle nie ruszam, przez co nie mam nawet podstawowego wyczucia co robić z takimi prostymi zadaniami, choć ostatnio w moich oczach nabrała wdzięku, ale wstydzę się zagadać i pomyślę sobie o czymś z geometrii przez 3 minuty i rzucam... Natomiast teraz wstydzę się bardziej tego, że czegoś tak prostego nie zrobiłem... Ależ ja jestem wstydliwy! Koniec z tym! Zagadam! (śmichychichy)

A i dziękuję Ponewor za zrobienie tego (jak się okazało banalnego) zadania.