Dowód rozdzielności iloczynu skalarnego wzgl. dodawania.

[alfalf]

Witam,
nie jest pewny czy temat znajduje się w odpowiednim dziale. Mam mały problem z elementarnym rachunkiem, otóż należy dowieść, że \(\displaystyle{ \vec{a}\cdot (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}}\) korzystając jedynie z definicji \(\displaystyle{ \vec{a}\cdot\vec{b}=ab cos\alpha}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) jest oczywiście mniejszym z kątów między nimi. Chodzi o to by nie odwoływać się do żadnej bazy. Proszę o wskazówki, bo już mnie to trochę męczy

Pozdrawiam

[matmatmm]

No więc tak: Rysujemy wszystkie 3 wektory w ten sposób, żeby miały wspólny początek i oznaczamy przez \(\displaystyle{ \beta}\) kąt między \(\displaystyle{ \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}}\), a przez \(\displaystyle{ \gamma}\) kąt między \(\displaystyle{ \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{c}}\). Tworzymy równoległobok o bokach \(\displaystyle{ \vec{b}}\) i \(\displaystyle{ \vec{c}}\) (przypadek, gdy te wektory leżą na jednej prostej rozpatrujemy osobno). Przękątną równoległoboku jest wektor \(\displaystyle{ \vec{b}+\vec{c}}\). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ x}\) jego długość, a przez \(\displaystyle{ \alpha}\) kąt między nim i wektorem \(\displaystyle{ \vec{c}}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ x\cos\alpha=c +b\cos (\beta-\gamma)}\) oraz \(\displaystyle{ x\sin\alpha=b\sin|\beta-\gamma|}\). Następnie zauważmy, że w zależności od położenia wektora \(\displaystyle{ \vec{a}}\) kąt między wektorem \(\displaystyle{ \vec{b}+\vec{c}}\) i wektorem \(\displaystyle{ \vec{a}}\) jest równy \(\displaystyle{ \alpha+\gamma}\) lub \(\displaystyle{ \alpha-\gamma}\) lub \(\displaystyle{ \gamma-\alpha}\) lub \(\displaystyle{ 360^{\circ}-\gamma-\alpha}\). W każdym przypadku (sprowadzi się to do dwóch przypadków) należy policzyć cosinus tego kąta stosując wzór na cosinus sumy/różnicy i podstawiając otrzymane wcześniej zależności. Ostatecznie wstawiając otrzymany wynik do tezy, czyli \(\displaystyle{ \vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}}\), otrzymamy tożsamość, którą będzie trzeba udowodnić.

EDIT. Popełniłem pewne niedopatrzenie. W przypadku niektórych konfiguracji położenia wektora \(\displaystyle{ \vec{a}}\) zależności mogą wyglądać też tak: \(\displaystyle{ x\cos\alpha=c +b\cos (\beta+\gamma)}\) i \(\displaystyle{ x\sin\alpha=b|\sin(\beta+\gamma)|}\).