Równanie parametryczne okręgu.

[ja99]

Witam, z równaniem parametrycznym okręgu o środku w punkcie (0,0) radzę sobie świetnie ale nie wiem jak układać takie równanie dla okręgu o środku w punkcie np (0,1) i promieniu r=1. Czy mógłby mi ktoś na tym przykładzie objaśnić ogólnie jak to się robi?

[Premislav]

\(\displaystyle{ x=\cos t\\
y=1+\sin t}\)
gdzie \(\displaystyle{ t}\) przebiega zbiór \(\displaystyle{ [0,2pi)}\)
Ogólnie masz sobie ustalony punkt \(\displaystyle{ (x _{0},y _{0})}\) i promień \(\displaystyle{ \tau}\). No to
chcesz by spełnione było \(\displaystyle{ (x-x _{0}) ^{2}+(y-y _{0}) ^{2}=\tau ^{2}}\) (suma kwadratów odległości euklidesowej w \(\displaystyle{ \RR}\) współrzędnych punktu od współrzędnych środka równa kwadratowi promienia). Ale tak się fajnie składa, że gdy podstawisz\(\displaystyle{ x-x _{0}=\tau \cos \psi}\), \(\displaystyle{ y-y _{0}=\tau\sin \psi}\), gdzie kąt przebiega przedział jaki już podałem, to polecisz sobie po całym okręgu tą paramteryzacją (przypomnij sobie funkcje trygonometryczne w kartezjańskim układzie współrzędnych) i będzie spełniony ten warunek.

[ja99]

A czy kąt nie będzie czasem należał do innego przedziału? Na wykresie tego koła co podałem w pierwszym poście można zauważyć, że należy on do I i IV ćwiartki układu współrzędnych więc nie powinno byc \(\displaystyle{ t \in < \frac{- \pi }{2}; \frac{ \pi }{2} >}\)?

[a4karo]

nie, bo biegun umieszczasz w srodku okregu

[ja99]

A jak opisać takie koło w równaniach biegunowych?

[a4karo]

Jak chcesz koniecznie miec biegun w \(\displaystyle{ (0,0}\) to napisz \(\displaystyle{ x=r\cos\phi, y=r\sin\phi}\), wstaw do równania okręgu i przekonaj się co dostaniesz. Terazoczywiscie musisz zadbac o odpowidni zakres \(\displaystyle{ \phi}\).

[ja99]

Ale co jeżeli środek koła będzie nie w środku układu współrzędnych?

[a4karo]

Przeciez tak własnie masz w Twoim przykładzie.

[ja99]

Ale teraz chodzi mi o współrzedne biegunowe nie o równania parametryczne.

[a4karo]

Jak masz koło o środku \(\displaystyle{ (0,1)}\) i promieniu 1, a biegun umieścisz w \(\displaystyle{ (0,0)}\), to masz
\(\displaystyle{ x^2+(y-1)^2=1}\) i \(\displaystyle{ x=r\cos\phi, y=r\sin\phi}\).

Wtedy to równanie ci daje \(\displaystyle{ r^2-2r\sin\phi=0}\), czyli \(\displaystyle{ r(r-2\sin\phi)=0}\). Pomyśl jakie musi byc \(\displaystyle{ \phi}\).

AL jeżeli biegun umieścisz w \(\displaystyle{ (0,1)}\) to masz \(\displaystyle{ x=r\cos\phi, y=1+\sin\phi}\) i po podstawieniu dostajesz równanie \(\displaystyle{ r=1}\). Jakie teraz masz \(\displaystyle{ \phi}\)?


EDIT: poprawiłem błąd w pierwszym równaniu