Pole ośmiokąta foremnego

[riviva]

Oblicz pole ośmiokąta foremnego o boku długości 8

[Piotrek89]

\(\displaystyle{ P=2(1+\sqrt{2})a^{2}}\)

podstaw do wzoru...

[Tristan]

Narysujmy sobie taki ośmiokąt foremny ABCDEFGH. Połączmy punkty A i F, B i E, C i H, D i G. Widzimy, że pole tego ośmiokąta składa się z jednego kwadratu, czterech prostokątów i czterech trójkątów. Niech bok ma długość \(\displaystyle{ a}\). Pole kwadratu wewnątrz ośmiokąta jest więc równe \(\displaystyle{ a^2}\). Niech teraz punkt P będzie punktem przecięcia się odcinka AF i DG. Mamy trójkąt prostokątny GPF, którego przeciwprostokąta ma długość \(\displaystyle{ a}\), więc przyprostokątne ( z tw. Pitagorasa) mają długości \(\displaystyle{ \frac{ a}{ \sqrt{2}}}\). W takim razie pole trójkąta GPF jest równe \(\displaystyle{ \frac{ \frac{a}{ \sqrt{2}} \frac{a}{ \sqrt{2}} }{2}= \frac{ a^2}{4}}\) i oczywiście pozostałe trzy trójkąty mają to samo pole. Pozostały nam prostokąty. Każdy z prostokątów ma dwa boki długości \(\displaystyle{ a}\) i dwa długości \(\displaystyle{ \frac{ a}{ \sqrt{2}}}\), bo te krótsze boki są zarazem przyprostokątnymi rozważanych wcześniej trójkątów. Czyli pole jednego prostokąta wynosi \(\displaystyle{ a \frac{a}{ \sqrt{2}}= \frac{ a^}{ \sqrt{2}}}\). Czyli pole ośmiokąta foremnego o boku długości \(\displaystyle{ a}\) wynosi \(\displaystyle{ a^2 + 4 \frac{a^2}{4} + 4 \frac{a^2 }{ \sqrt{2}}= a^2 (1+\frac{4}{4} + \frac{4 \sqrt{2}}{2} )= (2+ 2 \sqrt{2})a^2}\).
Podstawiając \(\displaystyle{ a=8}\) obliczysz szukane pole.