Trapez wpisany w okrąg

[Jado]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu takiego zadania:
W trapezie równoramiennym jedna z podstaw jest dwa razy dłuższa od drugiej, a przekątna jest dwusieczną kąta przy podstawie. Oblicz długości boków tego trapez, wiedząc, że jego pole wynosi \(\displaystyle{ 9}\).
Korzystając z wzoru na pole otrzymałem \(\displaystyle{ \frac{3b}{2}h=9}\) stąd \(\displaystyle{ b \cdot h=6}\) ale brak mi 2 równania,nie wiem co z tym zrobić.

[Premislav]

Ostrzegam, że moja propozycja wygląda ohydnie, ale nie miałem dawno do czynienia z planimetrią, stąd brzydota (pewnie można znacznie zgrabniej to zrobić). Zaznaczam sobie trójkąt tworzony przez wspomnianą przekątną, wysokość trapezu i \(\displaystyle{ \frac{5}{2}b}\) (według Twoich oznaczeń). Między przekątną a dłuższą podstawą jest tam sobie kąt \(\displaystyle{ \alpha}\), gdzie \(\displaystyle{ 2\alpha}\) jest kątem między ramieniem trapezu a dłuższą podstawą. Wtedy \(\displaystyle{ \tg \alpha= \frac{h}{ \frac{5}{2} b}= \frac{2}{5} \frac{h}{b}}\). A gdy rozważymy trójkąt o bokach \(\displaystyle{ h}\), \(\displaystyle{ \frac{b}{2}}\) i \(\displaystyle{ c}\)(gdzie \(\displaystyle{ c}\)-ramię trapezu), to dostaniemy \(\displaystyle{ \tg 2\alpha= \frac{h}{ \frac{b}{2} }= \frac{2h}{b}}\). Dalej z tożsamości \(\displaystyle{ \tg 2\alpha= \frac{2\tg \alpha}{1-\tg ^{2}\alpha }}\) mamy
\(\displaystyle{ \frac{2h}{b}= \frac{ \frac{4h}{5b} }{1- \frac{4h ^{2} }{25b ^{2} } }= \frac{20bh}{25b ^{2}-4h ^{2} }}\). Zatem mnożąc na krzyż i skracając co się da, dostajemy \(\displaystyle{ 10b ^{2}=25b ^{2}-4h ^{2}}\)czyli \(\displaystyle{ 15b ^{2}=4h ^{2}}\), a więc, jako że \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ h}\) są dodatnie, czyli tego samego znaku, \(\displaystyle{ h= \frac{\sqrt{15} }{2}b}\). Z tego i z równania, które otrzymałeś, podstawiając za pole, powinieneś już uzyskać długość \(\displaystyle{ b}\), a zatem i długość \(\displaystyle{ 2b}\), długość \(\displaystyle{ h}\), a z tw. Pitagorasa dla \(\displaystyle{ h}\) i \(\displaystyle{ \frac{b}{2}}\) uzyskasz kwadrat długości ramienia, czyli i tę długość.

[Jado]

Strasznie to skomplikowane, muszę to "przetrawić". Dziękuję, ale może ktoś znajdzie prostszy sposób.

[bakala12]

Wskazówka: Ramię trapezu ma długość równą długości krótszej podstawy.
Wskazówka 2:

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie środkiem dłuższej podstawy trapezu \(\displaystyle{ AB}\). Wówczas czworokąt \(\displaystyle{ MBCD}\) jest równoległobokiem, z czego wynika na przykład, że kąt przy dłuższej podstawie trapezu ma \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\). Teraz rozwiązanie staje się banalne.

[Jado]

No oczywiście, tam są kąty naprzemianległe czyli trójkąt równoramienny, a reszta jest już oczywista. Bardzo dziękuję "bakala12".